阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题.pdf

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1、阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题一点到多点到两弧圆的定比例距离定比例分段定比例长度切线南江石2018年04月16日2018年5月8日阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。——点到两定点距离定比。见图1。阿氏圆是以定比m：n（m/n=k）内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。点点阿氏圆方程，见图2。YP(x,y)LRkLXOAaCBQDXo图1阿氏圆——点到两定点距离定比图2点点阿氏圆方程根

2、据已知条件列方程：22222222222xykL，xayL，x2axayL222222222kx2akxakkykL222222k1xy2akxak0此公式为圆方程式，证明了动点到两定点距离定比的轨迹是一个圆。令y0，求C点D点的x坐标：22222k1x2akxak01222222x2ak2ak4k1ak22k12ak1242422xakakak22k1k1aakxa22k1k1

3、得到C点D点的x坐标：22akakakakx，xC2D2k1k11得到阿氏圆圆心的x坐标：2akaxa点点阿氏圆圆心公式Q22k1k1得到阿氏圆半径：akR2k1题目1图见图3。绘制阿氏圆类图形、求解阿氏圆类问题，首先要绘制出阿氏圆。绘制阿氏圆的方法一，内外分点法，内外定比分点直径圆法。几何原理，阿氏圆是内外两个分点连线为直径的圆。见图4。14575a2842.1aACBD5747R12080120图3题目1点到两点距离定比图4运用方法一内外分点法绘制阿氏圆绘制阿氏圆的方法二，内分

4、点一对圆法，内分点定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。见图5。00R1R14457028147.ACBR5120图5运用方法二内分点一对圆法绘制阿氏圆绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。见图6。在绘制阿氏圆的基础上解题，题目1题解见图8。阿波罗尼斯圆定理扩展1：已知平面上一动点P到两定圆OA（半径RA）、OB（半径RB）切线（切点为TA、TB）的长度之比为不等于1的定值（PTA/PTB=k，k≠1）则点P的运动

5、轨迹是一个圆——阿氏圆。——点到两圆切线定比。见图7。2015R00R1R14457028147.ACBR5120R60图6运用方法三两对圆法绘制阿氏圆14574728147.ACBDR5120图7阿波罗尼斯圆定理扩展1——点到两圆切线定比图8题目1题解圆圆阿氏圆方程，见图9。P(x,y)YkLTALRARBTBXOOCDOOABQRaXo图9圆圆阿氏圆方程3根据已知条件列方程：222222222xyRAkL，xayRLB22222x2axayRLB22222222222kx2

6、akxakkykRkLB22222222k1xy2akxRAkaRB0此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。令y0，求C点D点的x坐标：2222222k1x2akxRAkaRB01222222222x22ak2ak4k1akRAkRB2k12ak12424224222222x22akakkRAkRBakRAkRBk1k1a1222222xa221

7、kRAkRBakk1k1得到C点D点的x坐标：2222222ak1kRAkRBakxC2k12222222ak1kRAkRBakxD2k1得到阿氏圆圆心的x坐标：2akaxa圆圆阿氏圆圆心公式Q22k1k1得到阿氏圆半径：1222222R1kRkRBak2Ak1题目2，点到两圆切线定比，见图10。3a2a绘制阿氏圆的方法四，三公切线法，三405公切线定比分点法。几何原理，到两定圆切R1R20线长度为定比的点在阿氏圆上，三点

8、定圆。见图11。60图10题目2点到两圆切线定比4绘制阿氏圆的方法五，定比切线点一对圆法，公切线定比分点定比切线点三点R7圆法。几何原理，到两定圆5.657切线长度为定比的点在阿氏1201228圆上，三点定圆。见图12。R51R绘制阿氏圆的方法六，60定比切线点两对圆法，定比切线点三点圆法。几何原理，到两定圆切线长度为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。见图13。图11运用方法四三公切线法绘制阿氏圆R75.657124