量子力学基础知识习题解答.pdf

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1、乐山师范学院化学学院01.量子力学基础知识本章主要知识点一、微观粒子的运动特征h1.波粒二象性：Ehp==ν,λ2.测不准原理：∆x∆≥∆∆≥∆∆≥∆∆≥phyphzphtEh,,,xyz3.能量量子化；二、量子力学基本假设1.假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(,,,)xyzt来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。不含时间的波函数ψ(,,)xyz称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于*ψψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波

2、。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将*ψψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；*ψψτd为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M.Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。波函数ψ可以是复函数，ψ2=ψ*⋅ψ合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。2.假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个

3、函数作用后的线性组合的算符。1乐山师范学院化学学院Aˆˆ()cccψ+=+ψψψAcAˆ11221122自厄算符：满足ψ**()AAˆˆψτψψτd=()d的算符。∫∫2121自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正交。3.假设3：若某一物理量A的算符Aˆ作用于某一状态函数ψ，等于某一常数a乘以ψ，即：Aˆψ=aψ，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确定的数字a。a称为物理量算符Aˆ的本证值，ψ称为Aˆ的本证函数。4.假设4：态叠加原理：若ψ,,ψψ?,为某一微观体系的可能状态，则由它们12n线性组合所得的ψ也是体系可能的状

4、态。ψ=+++=cc11ψψ22?cnnψ∑ciiψ。iψ*Aˆψτd∫力学量A的平均值：A=。*∫ψψτd5.假设5：Pauli原理：在同一原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两个自旋相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反对称的。三、箱中粒子的Schrödinger方程及其解1.一维无限势阱的Schrödinger方程：22Zdψ−=Eψ22dmx222nxπnh其解为：ψ()x=sin()，E=nn2ll8ml解的特点：（1）粒子可以存在多种运动状态；（2）能量是量子化的；（3）存在零点能；（4）没有经典运动轨道，只有概率分布；（5）

5、存在节点，节点越多，能量越高。以上这些特点是所以量子力学体系都有的特点。2乐山师范学院化学学院本章习题解答【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：-10-1（a）质量为10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃；（b）动能为0.1eV的中子；（c）动能为300eV的自由电子。解：根据关系式：−34hh6.62610×⋅Js−22(1)λ====6.62610×m−−101pmv10kg0.01ms×⋅hh(2)λ==p2mT−346.62610×⋅Js=−−2719−121.67510×××××⋅kg0.1eV1.60210JeV()-11=×9.40310mhh(3

6、)λ==p2meV−346.62610×⋅Js=−−311929.10910×××××kg1.60210C300V−11=×7.0810m【1.6】对一个运动速度v<

7、和⑤四步都是正确的。微粒波的波长λ服从下式：λ=u/ν式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度v，但③中用了λ=u/ν，显然是错的。在④中，E=hν无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。3乐山师范学院化学学院2d【1.12】下列函数中，哪几个是算符的本征函数？若是，求出本征值。2dxx3exx,sin,2cos,xxx,sin+cos2x2dexxd解：=e，e是的本征函数，本征值为1。22dxdx22ddsinx=−×1sinx,sinx是的本征函数，本征值为−1。22dxdx22dd(2cos)x=−(2c