配对问题中的数学期望与方差的直接求法.pdf

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1、2009年9月西安邮电学院学报Sep.2009第14卷第5期JOURNALOFXI'ANUNIVERSITYOFPOSTSANDTELECOMMUNICATIONSVol.14No.5配对问题中的数学期望与方差的直接求法匡能晖(湖南科技大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411201)摘要:配对问题中的数学期望与方差的通常求法是引进新的随机变量,本文通过确定随机变量的分布律,直接求解。关键词:数学期望;方差;分布律;匹配数中图分类号:O211.4文献标识码:A文章编号:1007-3264(2009)05-0148-03122=2,从而,D(X)=E(X)-[E(X)]引言n(n

2、-1)=1。到目前为止,几乎所有的涉及这类问题的参考问题:将n封不同的信的n张信笺与n个信封[1-3]书籍均采取这样的解法。有些参考书籍指出,若进行随机匹配,记X表示匹配成对数,求E(X)与通过先求X的分布律,然后运用数学期望的定义求D(X)。[4]解,将是比较困难的。文献给出球盒模型中数学此类问题的通常解法是:期望的直接求法,本文给出配对问题中的数学期望引入新的随机变量Xi=与方差的直接求解。1第i张信笺与第i个信封匹配对,i=1,2,…,0否则n1主要结果1n。则有X=∑Xi,而P{Xi=1}=,i=1,2,i=1nn引理1将k封不同的信的k张信笺与k个信…,n。所以E

3、(X)=∑(Xi)=1。封进行随机匹配,则匹配成对数为0的匹配数共有:i=111ji因X1,X2,…,Xn之间无独立性,D(X)=k!+Ck(-1)(k-1)!+…+Ck(-1)(k-i)!+kkE(X2)-[E(X)]2。而E(X2)=E(X1+X2+…+Ck(-1)0!。n证不妨将k封信编号为1,2,…,k,将k个信222…Xn)=∑E(Xi)+2∑E(XiXj),E(Xi)=封编号为1,2,…,k。那么k封信与k个信封匹配的i=11≤i

4、匹配成对的情况(i=1,12,…,k)。而第i封信与第i个信封匹配成对的情况故P(XiXj=1)=,P(XiXj=0)=n(n-1)下,其余(k-1)封信与(k-1)个信封随意匹配,匹111-(i≠j),故E(XiXj)=,配数有(k-1)!,其中i=1,2,…,k,从而此种情况n(n-1)n(n-1)n匹配数共有C1k(k-1)!。用匹配总数删减它们,即222E(X)=∑E(Xi)+2∑E(XiXj)=1+2Cn1i=11≤i

5、匡能晖(1973-),男,湖南邵东人,湖南科技大学数学与计算科学学院讲师。第5期匡能晖:配对问题中的数学期望与方差的直接求法·149·减,即第i封信与第i个信封匹配成对,且第j封信in-k(-1)(-1)…+(n-k)!+…+(n-k)!]=与第j个信封匹配成对的情况下,(1≤i

6、)!]3n会多添上Ck(k-3)!种情况。如此类推,最终得到k1(-1)1(-1)2定理2∑[1+++封信与k个信封匹配成对数为0的匹配数为:k=1(k-1)!1!2!11iiin-kk!+Ck(-1)(k-1)!+…+Ck(-1)(k-(-1)(-1)…++…+]=1i)!+…+Ckk0!i!(n-k)!k(-1)证将左边和式具体展开可得:证毕。123(-1)(-1)(-1)定理1将n封不同的信的n张信笺与n个信左边=1++++…+1!2!3!封进行随机匹配,X表示匹配成对数。则:in-1(-1)(-1)n12+…+1(-1)(-1)i!(n-1)!E(X)=∑[1+++

7、k=1(k-1)!1!2!1(-1)1(-1)2(-1)i-1n-k++++…++…+(-1)1!1!1!1!2!1!(i-1)!…+]。(n-k)!(-1)n-2证X的可能取值为0,1,2,…,(n-2),n。若1!(n-2)!已知有(n-1)封信匹配成对,则剩下的一封信也必1(-1)1(-1)i-2(-1)n-3+++…++…+定匹配成对,此时匹配成对数为n,故X不可能取2!2!1!2!(i-2)!2!(n-3)!1i-3n-4(n-1)值,或者说P(X=n-1)=0。下面考虑X+1+(-1)+…+(-1)+…