数理统计6回归课件.ppt

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1、第六章相关与回归数理统计在化学中的应用序言化学中的分析测试过程究其本质而言，即是要研究建立被测物理量与被测物质含量之间的关系，也可以说分析测试的最终目的就是为了能用回归分析方法去求得被测物质的含量从而得以解决实际问题。相关指的就是变量与变量之间的某种关系，相关是研究回归的前提。回归在统计上指的是利用一个变量对另一个变量所进行的的预测，回归分析就是确定自变量和因变量所存在的函数关系。只有在确定了函数关系之后，才可能从一个变量预测或推算另一个变量，这在化学研究中有着极其广泛的应用。回归的来历早在19世纪后期,英国生物学家Golton在研究家族成员的相似性时发现：虽然一般说来高个子的父代会有高

2、个子的子代，但是子代的身高比他们的父代更趋向一致，即若父代身材高大，则他们的子代会趋向矮一些，而若父代身材矮小，他们的子代会趋向高一些。他把子代的身高向平均值靠拢的趋势称为“向平庸的回归”。KarlPearson观察了1078个家庭中父亲身高x和儿子身高y,建立了一个线性方程y=33.8+0.51x平均身高低于平均身高的平均值高于平均身高的平均值Father67.68765.4269.85Son68.68467.4569.86$6.1相关关系和相关系数在分析测试中，所研究的变量之间的关系，由于常存在着不可避免的随机误差，因此就使得变量之间的关系具有某种不确定性，这种变量之间既有着相互影响

3、，又不甚明了和肯定的关系，在统计上就称为相关关系。相关关系与函数关系之间并没有严格的界限。两个变量之间的相关关系，如达到一定的紧密程度时，就一定会发现它们之间有着确定的函数关系。在统计学上研究变量之间是否存在一定的相关关系，就称为相关分析。相关分析的目的就是要求出相关系数。统计上常用一变量对另一变量的回归方程的离散程度来表示相关系数，并用字母r来表示，定义如下：从上式可见，残余差方和Q越小，回归方程的离散程度越小，回归系数越接近1，也就越意味着存在着确定的函数关系。Q:残余方差y的回归估计值相关系数的另一种表示Sxy(Cov(x,y)):变量x和y的样本协方差$6.2相关系数的显著性检

4、验当两变量间确实具有高度紧密的相关性时，我们才能说据此所求得的回归方程才有实际意义。为此在进行回归分析之前，往往需要先进行线性相关的假设检验。$6.2.1相关系数的t检验适合于小样本的t检验的步骤如下：1.H0:=0（二变量无显著相关关系）H1:0（0为相关系数的真值）2.计算检验统计量t计：当r=0.90时，其分布并不是正态分布，但研究表明其修正值是满足t分布的.$6.2.1相关系数的t检验2.计算检验统计量t计：3.若t计＞t/2,n-2，则拒绝H0，反之，则接受$6.2.1相关系数的z检验当样本容量n>30时，可以进行两种z检验，一种是检验有没有相关性，另一种是检验两

5、个相关系数之间有无显著性。例6-1：用相关分析求出某一化学反应速度与光照时间的相关系数r=0.68，样本容量为24，问相关关系是否显著？（=0.05）解：1.H0:=0=0；H1:02.计算统计量：3.查表t0.05,22=TINV(0.05,22)=2.074.结论：拒绝H0,即化学反应速度和光照时间的有显著性关系。例6-2：上题中如果样本容量为30，现已知以往历次试验表明实验数据近似于正态分布，且r的平均值为0.72，试问0.68与它在统计上是否相同？（=0.05）解：1.H0:=0=0.72；H1:02.计算统计量：3.查表z0.05=TINV(0.05,

6、)=1.9604.结论：接受H0，即r=0.72和r=0.68在统计上是相同的。$6.3线性回归和非线性回归$6.3.1一元线性回归y=ax+b,a,b:回归系数最小二乘法：定义残余差方和Q。通过最小二乘法所得到的回归线有着以下几个特点：它必定通过x,y的平均值这一点；它对所有点来说是误差最小的；它常常不是通过实验数据中的任一点；不能随意外推。例6-3试拟合以下一样品中铀含量和荧光强度的实验数据的线性回归方程铀含量(10-7g)荧光强度(%)x2xyy2112.3112.3151.29218.6437.2345.96435.916143.61288.81651.036306.02601

7、.00867.164536.84502.411080.5100805.06480.25Sum31265.42211840.915369.72$6.2.2非线性回归两变量的关系如是非线性的，就叫非线性回归，通常非线性回归均可以通过适当的数学变换将其转化为线性回归。表6-1例6-4$6.3.3二元线性回归与一元线性回归相类似，同样可以证明，如果有两个自变量，二元线性回归的回归方程为y=b0+b1x1+b2x2,使用最小二乘法可知，b1、