清华大学运筹学-1.1线性规划数学模型课件.ppt

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1、§1.1线性规划的数学模型AB备用资源煤1230劳动日3260仓库0224利润4050例1、生产计划问题A,B各生产多少,可获最大利润?1x1+2x2303x1+2x2602x224x1,x20maxZ=40x1+50x2解:设产品A,B产量分别为变量x1,x22例2求:最低成本的原料混合方案原料ABC每单位成本14102261253171642538每单位添加剂中维生12148素最低含量3解:设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i=1,2,3,4)minZ=2x1+5x2+6x3+8x44x1+6x2+x3+2x412x1+x2+7x3+5x4

2、142x2+x3+3x48xi0(i=1,…,4)4线性规划模型特点决策变量:向量(x1…xn)T决策人要考虑和控制的因素,非负约束条件:线性等式或不等式目标函数:Z=ƒ(x1…xn)线性式,求Z极大或极小5一般式Max(min)Z=C1X1+C2X2+…+CnXna11X1+a12X2+…+a1nXn(=,)b1a21X1+a22X2+…+a2nXn(=,)b2………am1X1+am2X2+…+amnXn(=,)bmXj0(j=1,…,n)67隐含的假设比例性:决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比可加性:每个决策变量对目

3、标和约束的影响独立于其它变量连续性:每个决策变量取连续值确定性:线性规划中的参数aij,bi,ci为确定值82.9m钢筋架子1002.1m各1,原料长7.4m1.5mⅠⅡⅢⅣⅤ2.9m120102.1m002211.5m31203合计7.47.37.27.16.6料头00.10.20.30.8例3、合理下料问题9解:设按第i种方案下料的原材料为xi根minZ=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5x1+2x2+x4=1002x3+2x4+x5=1003x1+x2+2x3+3x5=100xi0(i=1,…,5),且为整数10由计算得到最优下料方案:

4、按方案I下料30根;按方案II下料10根;按方案IV下料50根;即:需90根原材料可制100套钢架。11又解:考虑下料方案,如下表所示方案123456782.9m211100002.1m021032101.5m10130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.412假设xi(i=1.2…8)为上面第i种方案下料的原材料根数,建立如下的数学模型:目标函数:minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x82x1+x2+x3+x4100(2.9m)2x2+x3+3x5+2x6+x71

5、00(2.1m)x1+x3+3x4+2x6+3x7+4x8100(1.5m)xi0(i=1,2…,8)约束条件:13例4、运输问题工厂/仓库123库存121350222430334210需求40153514设xij为i仓库运到j工厂的原棉数量(i=1,2,3,j=1,2,3)minZ=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23+3x31+4x32+2x33x11+x12+x1350x21+x22+x2330x31+x32+x3310x11+x21+x31=40x12+x22+x32=15x13+x23+x33=35xij015例5

6、、连续投资10万元A:从第1年到第4年每年初要投资,次年末回收本利1.15B:第3年初投资,到第5年末回收1.25,最大投资4万元C:第2年初投资,到第5年末回收1.40,最大投资3万元D:每年初投资,每年末回收1.11。求:5年末总资本最大16[分析]12345Ax1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D17Xik(i=1,2,…,5;k=A,B,C,D)第i年初投k项目的资金数MaxZ=1.15x4A+1.40x2C+1.25x3B+1.11x5Dx1A+x1D=10x2A+x2C+x2D=1.11x1Dx2C3x3A+

7、x3B+x3D=1.15x1A+1.11x2Dx3B4x4A+x4D=1.15x2A+1.11x3Dx5D=1.15x3A+1.11x4Dxik018例6、人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下:班次时间所需人数16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050522:00-2:002062:00-6:0030设司机和乘务人员在各时间段一开始时上班,并连续工作8小时,怎样安排既能满足工作需要,又使需要配备的司机和乘务人员人数最少?19解:设xi表示第i班次时

8、开始上班的司机和乘务人员数,这样可以建立如下的数学模型:目标函数:

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