清华大学计算固体力学第九次课件 梁和壳.ppt

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1、非线性有限元第9章梁和壳计算固体力学第9章梁和壳引言梁理论基于连续体的梁－CB梁CB梁的分析基于连续体的壳－CB壳CB壳理论剪切和膜自锁假设应变单元一点积分单元1引言第8章介绍了平面单元(二维)和实体单元(三维)在二维问题中，最经常应用的低阶单元是3节点三角形和4节点四边形。在三维单元中，是4节点四面体和8节点六面体单元。结构单元可以分类为：梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。1引言1引言在工程构件和结构的模拟中，梁和壳

2、及其他结构单元是极为有用的。应用薄壳，如汽车中的金属薄板，飞机的机舱、机翼和风向舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。用连续体单元模拟这些构件需要大量的单元，如采用六面体单元模拟一根梁沿厚度方向至少需要5个单元，而既便采用低阶的壳单元也能够代替5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。应用连续体单元模拟薄壁结构常常导致较高的宽厚比，从而降低了方程的适应条件和解答的精度。在显式方法中，根据稳定性的要求，采用连续体单元的薄壁结构被限制在非常小的时间步。1引言通过两种途径建立壳体有限元：1应用经典壳方程的动量平衡(或平衡)的

3、弱形式；2结构的假设直接由连续体单元建立－基于连续体(CB)方法。第一种途径是困难的，尤其是对于非线性壳，因为对于非线性壳的控制方程是非常复杂的，处理起来相当不方便；它们的公式通常由张量的曲线分量来表示，并且其特征，诸如厚度、连接件和加强件的变量一般也是难以组合。而且对于什么是最佳的非线性壳方程的观点也不一致。第二种CB方法(基于连续体)是直观的，得到非常好的解答，它适用于任意的大变形问题并被广泛地应用于商业软件和研究中。因此，我们将关注CB方法。这种方法也称为退化的连续体方法。1引言在大多数板壳理论中，通过强制引入运动假设建立平衡或

4、者动量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。在CB方法中，在连续体弱形式的变分和试函数中强制引入运动假设。因此，对于获得壳和其它结构的离散方程，CB壳方法更加直观。在关于壳的CB方法中，由两种途径强化运动假设：1）在连续体运动的弱形式中，或者2）在连续体的离散方程。由二维梁描述CB方法编程特点，应用第一种途径的理论，检验CB梁单元。建立CB壳单元，编程，发展CB壳理论，结合由于大变形在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。CB壳单元的两点不足：剪切和膜自锁。将描述假设应变场的方法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的

5、单元例子。描述应用在显式程序中的4节点四边形壳单元－一点积分单元。这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。当结构一个方向的尺度(长度)明显大于其它两个方向的尺度，并且沿长度方向的应力最重要时，可以用梁单元模拟。梁理论的基本假设是：由一组变量可以完全确定结构的变形，而这组变量只是沿着结构长度方向位置的函数。应用梁理论获得可接受的结果，横截面尺度必须小于结构典型轴向尺度的1/10。典型的轴向尺度为：支承点之间的距离；横截面发生显著变化部分之间的距离；所关注的最高阶振型的波长。梁单元假设在变形中垂直于梁轴线的横截面保持平面。不要

6、误解横截面的尺度必须小于典型单元长度1/10的提法。高度精细的网格中可能包含长度小于其横截面尺寸的梁单元(尽管一般不建议这样做)，在这种情况下实体单元可能更适合。2梁理论2梁理论梁理论的假设运动学假设关注梁的中线(也称为参考线)的运动。由垂直于中线定义的平面称之为法平面。梁横截面几何形状广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：Euler-Bernoulli梁：假设中线的法平面保持平面和法向；称为工程梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。Timoshenko梁：假设中线的法平面保持平面，但不一定是法向；称为剪切梁

7、理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论。2梁理论梁理论的假设考虑一点P的运动，它在中线上的正交投影为点C。如果法平面转动视为一个刚体，则P点的速度相对于C点的速度给出为2梁理论Timoshenko梁理论在二维问题中，角速度的非零分量是z分量，所以法线的角速率相对速度为中线上任何一点的速度是x和时间t的函数，因此有即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和2梁理论Timoshenko梁理论应用变形率的定义变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为横行剪切。由于梁内的变形率是有限的，非独立变量和只要求C0连续，

8、位移（挠度）和截面转动各自独立，使截面发生剪切变形后保持平面。Euler-Bernoulli理论运动学假设是法平面保持平面和法向，因此，法线的角速度是由中线的斜率的变化率给出上式等价于要求剪切分量为零，表示在法线和中线之