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《湖南师范大学高等数学 2.1 导数的概念课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章一元函数微分学一元函数微分学的基本概念是导数和微分,它在微积分中占有重要的地位,是整个微积分的基础。本章主要介绍导数和微分的概念、计算方法、微分中值定理及导数的应用.§2.1导数的概念2.1.1导数问题的提出2.1.2导数的定义2.1.3导数的几何和其它实际意义2.1.4函数的可导性与与连续性的关系基本问题基本要求1.理解导数的概念2.理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程3.了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量5.理解函数的可导性与连续性的关系4.会求分段函数的导数2.1.1导数问题
2、的提出问题1平面曲线切线的斜率1.切线的定义点M为动点，当点M沿曲线如果割线的极限位置时，趋向于点存在，直线称为曲线C在点处的切线。M设点的一个定点，是曲线2.求切线的斜率设为曲线C上位于附近的一点，割线与与轴的夹角为,切线轴的夹角为,则有MT若问题2变速直线运动物体的瞬时速度物体所走过的路程S为时间t的函数:设物体在时从原点O出发沿直线作变速运动。从时刻的时间间隔内其平均速度为到则称该极限值为物体在时刻时的瞬时速度。存在，2.1.2导数的定义如果一、处的导数定义在一点定义1设内有定义，在的某邻域时,且当自变量
3、在处取得增量相应地函数取得增量存在,则称函数并称这个极限处可导,在点为函数处的导数,记作在点导数的定义式的不同形式:或即（1）（2）或（3）记作映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。它反处不可导.若上述极限不存在，则称在点如果当（不可导）,时,称函数在点处的导数为无穷大，处的变化率，是因变量在点导数解或例1求函数处的导数.在处的导数,则有若将上例中在处的导数改为在任一点由函数产生的另一个函数称为原来函数的导函数。或或二、f(x)在开区间上的导函数定义2若上每一点处可导，则在开区间上可导.称函数在开区间导数值
4、，这样就构成了一个新的函数,这个这时对都对应着的一个确定的函数称上的导函数,简称为导数.记作在区间为即或导数是一个实数；它是导函数在该点处的函数值,注意导函数是一个函数，而函数在某一点处的即例1求函数解即（c为常数）的导数.例2求函数的导数.解即即以后我们将证明,对于一般的幂函数有解例3求函数在处的导数.又解例5求函数的导数。即特殊地，当注：这里同时证明了时，有三、单侧(左、右)导数定义3设的一个右邻域内有定义，若在记作即存在,则称此极限值为函数处的右导数.在点由极限与左右极限的关系,可得:存在且相等.类似地有
5、处的左导数定义:在点定理1处可导在点定义4如果函数内可导,且在开区间与都存在,则称上可导。在闭区间四、分段函数求导法则由定理1知讨论分段函数在其分段点处的导数，常用下方法1用定义求出左导数与右导数则不存在；若列两种方法：解方法1存在，例5讨论在处的可导性。例6求函数在处的导数.解在处不可导.方法2按下述定理求之:定理设处连续,在内可导,在点若存在且等于处可导,则在点即且方法2的步骤为：第二步求第三步若则第一步验证处的连续性；在若则不存在，不存在。方法2例5讨论在处的可导性。在处连续。又例13(p75)设在从而
6、不存在，故处不可导.解显然处连续。又在2.1.3导数的几何意义与其它实际意义一、几何意义处的切线的斜率,即的倾斜角。T在点表示曲线是曲线过点的切线法线方程为：处的切线方程为：在点曲线T法线切线切线方程和法线方程.于是得故所求切线方程为：或法线方程为：或例7.求曲线平行的与直线解直线的斜率为3,设曲线在点处的切线斜率为3，即有解设切点为于是所求切线方程可设为：由此解得故所求切线方程为：或例8求曲线的切线方程。的通过点则切线的斜率为因为切点上,故有在曲线又切线通过点，于是二、导数的其它实际意义瞬时速度1.物理意义
7、加速度流量液体体积线密度质量作为长度的函数;设路程函数为t为时间角速度,其中角度2.化学意义，浓度化学反应速度元素衰变速度元素的含量2.1.4函数的可导性与与连续性的关系处必连续.证其中从而由定义得定理2若函数在点处可导,则在点注意函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件.如上面例6中的函数内连续,在但该函数在点处不可导。作业p692.3.(2)(4)4.5.6.8.9.12P69,3.设y=f(x)在点x0处可导,求A.8.设在处可导，求练习及提示
