电子科大数值分析课件.ppt

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1、数值计算中的基本原则算法的数值稳定概念方程求根问题引例二分法及其算法描述《数值分析》2数值计算中的基本原则(1)避免绝对值小的数做除数;(2)避免两相近数相减;(3)防止大数“吃”小数现象a=109，b=9，在8位浮点数系统中做加法a+b=1.0000000×109+0.000000009×109由于只保留8位有效数，处于第九、十位的数09被舍去,实际操作是:将a的数据作为加法计算的最终结果.(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)例计算P(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4的值秦九韶算法P(x)=1+x(2+

2、x(3+x(4+5x)))应用:2进制数转换为10进制数算法(11101110)2=27+26+25+0+23+22+2+0=((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=238例1计算(n=0,1,···,20)初值：I0=1–e–1≈0.63212055882856n=20时，S20=-30.19239488558378递推公式:In=1–nIn-1(I0=1-e-1)S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0;forn=2:20S(n)=1-n*S(n-1)end实际计算:Sn=1-nSn

3、-1,S0=0.63212055882856

4、e(S0)

5、=

6、S0–I0

7、<0.5·10-14errorIn=1-nIn-1Sn-In=-n(Sn-1-In-1)e(Sn)=–ne(Sn-1)=······=(n!)(–1)ne(S0)新算法:In-1=(1-In)/nS(30)=1/31forn=30:-1:2S(n-1)=(1-S(n))/n;endS0=1-S(1),S(1:21)初值误差在算法执行过程中不断增大,这种算法称为数值不稳定算法。Sn-1-In-1=–(Sn-In)/n在算法执行过程中,舍入误差对计算结果

8、影响不大的一类算法被称为数值稳定算法;否则称为不稳定算法.初始误差在算法执行过程中不断减小,这种算法称为数值稳定算法。

9、e(S20)

10、=

11、S20-I20

12、=

13、(1-S21/21)-(1-I21/21)

14、=

15、S21-I21

16、/21=·······=

17、S30-I30

18、/(21·22·23·····30)rd例2.水中浮球问题有一半径R=10cm的球体,密度=0.638.球体浸入水中后,浸入水中的深度d是多少？阿基米德定律由=0.638,R=10.代入,得d3–30d2+2552=0令f(x)=x3–30x2+2552

19、,函数图形如下f(x)在区间[0,20]有唯一的根P=[1-3002552];roots(P)ans=26.314611.8615-8.1761第一步:对根进行隔离,找出隔根区间,或在隔根区间内确定一个解的近似值x0;设f(x)=0的根为x*,通过迭代计算,产生序列:x0x1x2···xn·········用数值方法求非线性方程的根,分两步进行:第二步:逐步逼近,利用近似解x0(或隔根区间)通过迭代算法得到更精确的近似解.只须已知方程f(x)=0有一隔根区间[a,b],且f(x)满足f(a)·f(b)<0,则先将[

20、a,b]等分为两个小区间,判断根属于哪个小区间,舍去无根区间保留有根区间[a1,b1];二分法迭代把区间[a1,b1]一分为二,进一步判断根属于哪个更小的区间[a2,b2],如此不断二分以缩小区间长度.[a,b]x0=0.5(a+b)[a1,b1]=[a,x0][a1,b1]=[x0,b]x1=0.5(a1+b1)已知f(x)=0在[a,b]内有一根,且f(a)f(b)<0(1)计算:yaf(a),x00.5(a+b),y0f(x0)判断,若y0=0,则x0是根,否则转下一步;(2)判断,若y0·ya<0,则a1a

21、,b1x0否则a1x0,b1b,yay0x0x1···二分法迭代将得到一系列隔根区间定理2.2设x*是f(x)=0在[a,b]内的唯一根,且f(a)·f(b)<0,则二分计算过程中,各区间的中点数列性质:1.f(an)·f(bn)<0;2.bn–an=(b–a)/2n满足:

22、xn–x*

23、≤(b–a)/2n+1只需注记:若要例3二分法求方程在区间[0,1]内的根.二分十次。函数在[0,1]内有唯一零点,故[0,1]是隔根区间.解:令二分法迭代实验数据nanxnbn005.0000e-0011.0000e+000

24、102.5000e-0015.0000e-00122.5000e-0013.7500e-0015.0000e-00133.7500e-0014.3750e-0015.0000e-00144.3750e-0014.6875e-0015.0000e-00154.3750e-0014.5313e-0014.6