科学与工程计算有限元课件.ppt

《科学与工程计算有限元课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1：插值函数当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，但能测量或者统计出在一列节点处测得函数值，，根据这些已知条件，构造一个简单易算的近似函数g(x)，满足条件求一个至多n次多项式函数利用待定系数法因为方程组的系数矩阵为范德蒙特行列式，存在而且唯一插值多项式是一次多项式求解方程组得记Lagrange基函数个互异节点时,构造出每个节点的Lagrange基函数它们满足由上面的条件可以写为求得常数每个节点的基函数插值多项式为两点边值问题的有限元方法考虑两点边值问题第一步将数学物理问题化为等价的变分问题变分问题求第二步定解区域剖分对[a,b]进行剖分，使每一个小区间称为单元。第三步有限元空间的构

2、造,线性有限元空间构造的有限维子空间应该满足如下要求任何元素（函数）限制在任意一个单元上是一次函数任何元素（函数）满足一定的光滑性，在是连续函数在端点满足因为在单元上是一次函数根据插值多项式的结论.几何图形选取的函数满足称为整体基函数。它们的函数图像分别为函数列是线性无关的因为，令利用基函数的性质得函数列可以成为子空间的基底称此空间为线性有限元空间。存在实数列做变换则此变换将单元变换到区间称为参考单元形函数第四步生成有限元方程离散变分问题写成矩阵形式，因此得到有限元的系数矩阵每行至多只有三个非零元素如果左边值条件为非齐次的，即则得到有限元方程计算单元刚度阵。它是的二次型，写成是单元刚度

3、阵。于是得到在整个定解区域上的有限元方程总刚度矩阵总荷载向量。一维高次有限元区间上构造二次Lagrange插值基函数和考虑满足插值条件表达式为变换单元的Lagrange基函数下面构造在整个定解区域上的整体基函数考虑节点是单元的共同的端点将相邻两个单元上的Lagrange基函数拼接起来得到在节点的整体基函数单元中点的整体基函数就是在此单元上是Lagrange基函数其形状为二次有限元的近似解可以表示为在每个单元上，近似解是二次多项式，在节点处连续。因此，在整个定解区域近似解是连续函数。二维椭圆边值问题的有限元方法考虑二维椭圆边值问题第一步将数学物理问题化为等价的变分问题变分问题求，第二步定

4、解区域剖分三角形剖分定解区域的边界分片光滑,如果也不是由直折线段组成，那么截弯取直的办法。用适当的折线段逼近.三角形剖分就是将定解区域分割为有限个小三角形单元。三角形的顶点称为节点，记为每一个三角形称为单元，记为三角形剖分必须注意几点，即三角形剖分必须是正则的。1:每个单元的顶点必须是另外一个单元的顶点，不能是相邻单元的边上的点。原因是方便构造插值函数。2:三角形之间内部无重叠，即3:在剖分过程中尽量避免大钝角三角形，要求满足不等式4:如果方程的系数在区域内部是间断的，则用折线近似间断线，而且这些折线必须是三角形单元的边界。5:如果定解区域的边界是由有限条光滑曲线组成的，则这些光滑曲线

5、的交点也必须是节点，如果在边界条件中的系数也是间断的。则间断点也必须是节点。6:对于任何一个单元，单元最多有两个顶点落在边界上。注：（1）三角剖分具有很好的灵活性和适应性。（2）区域剖分好后，必须对节点和单元编号(3)子空间不是真解空间的子空间第三步有限元空间的构造在上述剖分的基础上，构造有限维子空间.任何元素（函数）限制在任意一个单元上是一次函数任何元素（函数）满足一定的光滑性是连续函数在边界上满足构造形函数满足以下条件在单元是一次函数单元之外，每个形函数都等于0。整体基函数，它是以节点为顶点的所有单元上的形函数拼接而成的，它是分片线性的，而且局部非零的。它满足条件有限元空间在网格步

6、长有限元空间收敛到广义解空间。第四步形成有限元方程，矩阵的形式为总刚度阵位移向量总荷载向量