自控理论 5-4控制系统的根轨迹分析方法课件.ppt

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1、§5-4控制系统的根轨迹分析方法控制系统的根轨迹分析方法,是首先绘制出根轨迹图,然后在根轨迹图上分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能。在根轨迹图上也可以进行反馈系统的综合或校正。本节讨论在控制系统的根轨迹分析中常涉及到的几个基本问题。一.闭环零点和闭环极点的确定系统的闭环零点可由系统的开环传递函数直接给出，系统的闭环极点可由系统的根轨迹图试探确定。1．由开环传递函数确定系统的闭环零点考察图5-15所示的反馈控制系统。R(s)C(s)图5-15反馈控制系统G(s)H(s)式（5-33）中，zj、pi、Kg分别为系

2、统前向通道传递函数G(s)的零点、极点和根轨迹增益。式（5-34）中，zk、pl、Kh分别为系统反馈通道传递函数H(s)的零点、极点和根轨迹增益。R(s)C(s)图5-15反馈控制系统G(s)H(s)于是，系统的闭环传递函数为上式的分母多项式即系统的闭环特征多项式。设系统的闭环零点、极点和根轨迹增益分别为zj、si和KF，则系统的闭环传递函数可表示为比较式(5-35)和式(5-36)，即有如下结论；(1)系统的闭环零点由其前向通道G(s)的零点（m1个）和其反馈通道H(s)的极点（n2个）两部分组成。对于单位反馈系统，闭

3、环零点就是其开环零点。比较式(5-35)和式(5-36)，即有如下结论；(2)系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益等于其开环根轨迹增益。2.应用试探法确定系统的闭环极点对于某一增益下的闭环极点可由幅值条件试探确定。当试探出系统的部分闭环极点之后，其他闭环极点也可根据闭环极点的和与积的性质求出。闭环极点的精确求解需借助于MATLAB等计算机仿真工具。【例5-13】已知开环传递函数根据例5-6系统的根轨迹图，确定使闭环传递函数具有阻尼比z=0.5的复数极点对应的K1值及另外两个闭环

4、极点，写出此时的闭环传递函数。解(1)求复数极点对应的K1值由图5-16，过原点画一条与负实轴夹角为b=600的直线，根据它与根轨迹的交点确定一对共轭复数极点为s1,2=-0.4±j0.7，s1,2对应的K1值由幅值条件求得s1-8-6-4-2024-5-4-3-2-1012345z=0.5p3p2p4p1j0.7-0.4j1.1k1=8.16图5-16例5-13的根轨迹-j1.1k1=8.16选实验点s3=-1.41代入幅值条件(2)用试探法求K1=2.62时的闭环极点即s3点为K1=2.62时的一个闭环极点(3)用长

5、除法求其余闭环极点也可根据闭环极点的和与积的性质求s4因此，当K1=2.62时，系统的闭环传递函数二、闭环零、极点的分布对系统性能的影响利用根轨迹得到闭环零、极点在s平面的分布情况，就可以写出系统的闭环传递函数，进行系统性能的分析。下面以系统的单位阶跃响应为例，考察闭环零、极点的分布对系统性能影响的一般规律。设n阶系统式中，zj、si和KF分别为系统的闭环零点、闭环极点和根轨迹增益。于是，单位阶跃响应式中，A0、Ai分别为C(s)在输入极点和各系统极点上的留数，由复变函数的留数定理，得到即，A0、Ai取决于系统闭环零、极

6、点的分布。经拉氏反变换，单位阶跃响应上式表明，系统的c(t)由Ai、si决定，即与系统闭环零、极点的分布有关。分析上述各式，闭环零、极点的分布对系统性能影响的一般规律如下：（1）稳定性:系统稳定要求其闭环极点全部位于左半s平面，稳定性与闭环零点的分布无关。（2）运动形态:闭环偶极子中的闭环极点对应的系统响应分量可以忽略不计。实数极点对应的时间响应是单调的；复数极点对应的时间响应一定是有振荡的。（3）平稳性:系统响应的平稳性由系统阶跃响应的超调量来度量。欲使系统响应平稳，系统的闭环复数极点的阻尼角应尽可能地小。兼顾系统响应

7、的快速性，闭环主导极点的阻尼角一般取±450。（4）快速性:要使系统具有好的响应快速性，其响应的各暂态分量应具有较大的衰减因子，且各暂态分量的系数应尽可能小。即系统的闭环极点应远离虚轴，或用闭环零点与虚轴附近的闭环极点构成闭环偶极子。R(s)C(s)0.8s+1(b)速度反馈控制GCR(s)C(s)(0.8s+1)(a)比例微分控制GC【例5-14】绘制两系统根轨迹图,分析闭环零点对暂态响应的影响。s1xxp1p2-1.25zjwK=28.7s2xxp1p2-1.25zjwK=28.7s1s2sa—比例微分;b—速度反馈

8、ab1.0三.利用闭环主导极点估算性能指标如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，可以利用第三章介绍的闭环主导极点的概念，把高阶系统简化为一阶或二阶系统，实现对高阶系统性能指标的近似估算。【例5-15】已知F(s),求性能指标s%、tr、tp、tsxxxs3s1s2jws-4.2-0.4j0.69套用式(