闭区间上连续函数性质第一章小结课件.ppt

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1、12解：纠正作业解：解：34复习2.函数的间断点53.间断点分类:(1)第一类间断点(2)第二类间断点6第一类间断点第二类间断点跳跃型oyx无穷型oyx可去型oyxoyx振荡型74.初等函数的的连续性;所以初等函数的连续区间=定义区间注意：初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.8第十节闭区间上连续函数的性质第一章一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理9最大(小)值定义:对于在区间I上有定义的函数f(x),如果则称是函数在区间I上的最大值.(小)一、有界性与最大值最小值定理例如,10定理1.在闭区间上连

2、续的函数即:设则使值和最小值.在该区间上一定有最大(证明略)推论.由定理1可知有证:设上有界.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.111.若区间是开区间,结论不一定成立;注意:2.若区间内有间断点,结论不一定成立.例如,无最大值和最小值又如：12二、零点定理与介值定理零点的定义:定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)(又叫根的存在定理).几何解释:连续曲线弧的两个端点位于x轴的不同侧,则曲线弧与x轴至少有一个交点.13例1.证明方程一个实根.证:在区间内至少有由零点定理知,令说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的

3、根;可用此法求近似根.二分法则则14定理3.(介值定理)则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点即推论:在闭区间上的连续函数至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.15例2.证:由零点定理,辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理注意:16备用题:至少有一个不超过4的正根.证：证明令且显然根据零点定理,内至少存在一点在开区间原命题得证.17内容小结上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;1．闭区间；2．连续函数．注意：这两点不满足上述定理

4、不一定成立．181)直接用四则法则;2)恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质;无限项:约去零因式通分分子分母有理化回顾：1.学过的求极限的方法：抓大头4)无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算法则(变量代换法);化无限为有限法6)利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则;8)重要极限法;9)等价无穷小代换法；10)连续性.注意各个方法的理论依据及条件，使用范围.19则有结论1:若则有结论2:若结论3：常用等价无穷小:20结论4:结论5:21例1.求解:原式=例2.求解:原式=2

5、2非零因子要及时分离出来23例4.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1不连续,24解：例5.设25例6.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:26P75T1127例8.函数解答:无界但不是无穷大.P42T62829第一章常考题型：作业:P742;P742,9(2)(6),13;14(2).预习:P77-P87P74总习题一1,3题写在书上.30思考：函数的间断点只能有有限个吗？在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点.狄利克雷函数如在定义域R内每一点处都间断,答：不是.因有些

6、函数存在无穷多个间断点.但其绝对值处处连续.31