随机变量的方差课件.ppt

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1、第三节　随机变量的方差一、方差的定义三、矩二、方差的性质四、切比雪夫不等式上一节介绍的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，我们还想知道随机变量取值偏离平均值的程度。为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其均值附近的离散程度.一、方差的定义例：检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命如下:A:2000150010005001000;B:15001500100010001000;(单位:小时),试比较这两批灯泡质量

2、的好坏.计算得:平均寿命分别为:A:1200,B:1200,观察得:A中使用寿命与平均寿命偏离较大,B中使用寿命与平均寿命偏离较小,所以,B产品质量较好.数学期望方差这个反映“偏离程度”的指标是随机变量的另一个特征，我们称之为方差，它刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度.方差的定义或注1由方差定义，若随机变量X的方差D(X)存在，则注2若随机变量X的数学期望存在，而X的方差不一定存在；若X的方差存在，则X的数学期望必存在.离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差方差的计算(1)利用定义计算证明(2)利用

3、公式计算证明二、方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,a,b是常数,则有D(aX+b)=a²D(X)证明例1设随机变量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，且D(X)>0,令称为X的标准化随机变量，求解例2设随机变量X的密度函数为求D(X).解于是例3已知随机变量X的数学期望EX=2.4,方差DX=1.44,则X2的数学期望EX2=()7.2例4已知随机变量X的数学期望和方差均为2，求随机变量Z=3X-2的期望和方差EZ,DZ.解：EZ=3EX-2=4DZ=9DX=18其中k是正整数.三、矩四

4、、切比雪夫不等式设随机变量X的方差D(X)存在，则对任意的，有或得证明取连续型随机变量的情况来证明.例1设随机变量ξ的数学期望Eξ=μ，方差Dξ=σ2则由切比雪夫不等式有解：根据切比雪夫不等式例2.设X~用切比雪夫不等式证明证明:EX==n+1EX2==(n+1)(n+2)所以,DX=EX2-(EX)2=n+1[其中,ε=n+1]