非线性动力学汪秉宏课件.ppt

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1、非线性动力学第一章汪秉宏中国科学技术大学近代物理系7/31/20211第一章引言§1Newton力学及其发展§2非线性动力学的研究对象§3非线性动力系统模型的建立7/31/20212§1Newton力学及其发展力学的定性研究时期（公元前－17世纪中叶）Archimedes，Galileo，Kepler定量研究时期（17世纪中叶－19世纪末）Newton，Lagrange,Hamilton7/31/20213（17世纪）Newton方程：基本问题：已知的函数形式，求上述方程组的解析表达式。数学家可证明其存在性及唯一性。基本方法－微扰论：存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功，能够精确预言天

2、体的运动。7/31/2021418世纪：Lagrange方程Lagrange函数7/31/2021519世纪Hamilton方程引进广义动量Hamilton函数7/31/20216Lagrange,Hamilton方程均与Newton方程等价力学的基本问题、基本方法未变结论：二百多年来牛顿力学无实质性进展7/31/2021719世纪末、20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革7/31/20218太阳系是否稳定？——N体稳定性问题微扰是否收敛？许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证明。如Dirichlet。奥斯卡奖1890年授予Poincare.他证明了所有微扰级数是发散的，因而研究

3、稳定性必须使用新的方法——定性方法：几何拓扑，微分拓扑。力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。求解析解并不解决问题。7/31/20219新力学的理论特点:力学的基本问题研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即：研究相轨图(phaseportrait)例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这一问题）给出级数展开式：如何证明?7/31/202110新力学的理论特点基本方法：定性方法：微分拓扑大范围分析代数与群论数值方法：计算机模拟大大拓宽了力学的研究领域发现了许多新的力学现象。如：混沌、分岔、突变、结构稳定性转变7/31/202111§2非线性动力学的研究对象——非线性动力系统及各种特征系统

4、的现象a)什么是非线性动力系统？线性方程：量φ满足的方程L(φ)=0若（i）φ是线性空间中一个元素（矢量）（ii）L(aφ＋bψ)=a•L(φ)＋b•L(ψ)非线性动力系统的定义：一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线性方程描述，则称作非线性动力学系统。7/31/202112非线性动力系统若一个动力系统由方程描述，其中也可以用系综概率密度ρ(x)的运动描述。Liuvill方程：是线性的。两个方程等价。但两者的基本力学量不同。若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线性。7/31/202113考虑一对一变换则非线性方程有可能化为线性的习题1：求G的显示表达式有些系统，其相空间不是线性

5、空间，这类系统必定是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为SO3流形。称为运动(Kinetic)非线性。F的非线性称为力学非线性。7/31/202114b)什么是特征非线性现象？例：考虑映射设f(x)>x则xn+1>xn即使f是非线性的，没有任何不同于线性系统的有趣特征7/31/202115已知的特征非线性现象：混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结构，分形特征当f(x)=rx(1-x)时出现一系列分岔、混沌等非线性现象。非线性科学并不研究对于线性关系的偏离，而必须研究质的变化。7/31/202116§3非线性动力系统模型的建立实际系统往往包含巨大数目自由度s～1023，从中得出基本力

6、学量及其遵循的方程微观描述μ为控制参量，表示外界的影响7/31/202117亚宏观描述引进集体运动变量：忽略连续系统运动的涨落，可由微观描述得到涨落耗散定理涨落项7/31/202118宏观描述在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。设长时间后只剩下x1,…,xm的运动，则在t→∞时有Haken称之为随动原理(slavingprinciple).代入前一方程，消去xj,j=m+1,…,n得xj,j=1,…,m称作序参量（基本力学量）绝热消除法：中心流形→惯性流形7/31/202119IPaddress：202.38.83.243Username：guestP

7、assword：guestFTPComplexity7/31/202120ThanksforAttention！ThanksforAttention！