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1、第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用第十章区域D分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式机动目录上页下页返回结束证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且则定理1目录上页下页返回结束即同理可证①②①、②两式相加得:定理1目录上页下页返回结束2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有
2、限个上述形式的区域,如图证毕定理1目录上页下页返回结束推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1目录上页下页返回结束例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束在D内作圆周取逆时针方向,,对区域
3、应用格记L和lˉ所围的区域为林公式,得机动目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2目录上页下页返回结束证明(2)
4、(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2目录上页下页返回结束证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2目录上页下页返回结束证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕定理2目录上页下页返回结束说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线
5、,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则机动目录上页下页返回结束例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数机动目录上页下页返回结束或机动目录上页下页返回结束例7.设质点在力场作用下沿
6、曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:机动目录上页下页返回结束2.设提示:第四节目录上页下页返回结束备用题1.设C为沿
7、从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解
