2、为把区间[a,b]分成n个小区间(2)近似、求和.在每一个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi,以△xi为底边,以f(ξi)为高作小矩形,其面积为f(ξi)△xi.以此作相应的小曲边梯形面积的近似值,即n个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问题.(3)取极限记所有小区间长度的最大值为当λ→0时和式(n个小矩形面积之和)的极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即引例2变力做功设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做的功就是w=F·s.但实际问
3、题中,物体在运动中受力常常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做的功.如果已知F(s)是位移s的连续函数,物体位移区间为[a,b](即位移s从a变到b).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数F(s).如果把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.计算步骤(1)分割以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.在每个小区间任取一点作和式二、定积分的概念定义5.1设函数f(x)在区间[a,b]上有界,在(a,b)内插入n－1个分点各小区间的长度为把区间[a,b]分
4、为n个小区间定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即物体在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对物体所做之功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.关于定积分的概念，还应注意两点:(1
5、)定积分是积分和式的极限，是一个数值,定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关,而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分的定义中,总假设,为了今后使用方便，对于的情况作如下规定：定积分的几何意义：如果在[a,b]上，则在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.如果在[a,b]上,此时由曲线y=f(x),直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，
6、x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.三、定积分的存在定理定理5.1定理5.2例1用定义计算解(1)分割.插入n－1个分点把区间[0,1]分成n等分,各分点的坐标依次是每个小区间的长度均为(2)近似、求和.取每各小区间右端点为ξi,即作乘积这里用了正整数平方和公式(3)取极限.当,时取极限,得所以所求的定积分性质1函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差)证明设各性质中涉及的函数都是可积.四、定积分的基本性质推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即证明性质3如果积分区间[a,b]被
7、分点c分成区间[a,c]和[c,b],则性质6.3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.按定积分的补充规定有:不论a,b,c的相对位置如何(如a8、个点ξ,使下式成立证明因为函数f(x)在闭区间[a,
