2019年三种常方法课件.ppt

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1、三种常用方法:1精确对角化;2微扰法;3变分法1学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克例1.一电荷为e的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。（1）电场中的谐振子Hamilton量2学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克（2）写出H0的本征值和本征函数E(0),ψn(0)（3）计算En(1)3学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克（4）计算能量二级修正欲计算能量二级修正，首先应计算H’kn矩阵元。利用线性谐振子本征函

2、数的递推公式：4学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克对谐振子有；En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，5学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克由此式可知，能级移动与n无关，即与扰动前振子的状态无关。6学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克讨论：1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元7学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克计算二级修正：代入能量二级修正公式：8学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很

3、多。------洛克2.电谐振子的精确解实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：9学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克其中x’=x–[eε/μω2]，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低{e2ε2/2μω2}，而平衡点向右移动了{eε/μω2}距离。例2.设Hamilton量的矩阵形式为：（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。10学到很多东西的诀

4、窍，就是一下子不要学很多。------洛克（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2本征函数本征值11学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克得能量一级修正：能量二级修正为：由非简并微扰公式12学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克准确到二级近似的能量本征值为：设H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(3)将准确解按c(<<1)展开：比较（1）和（2）之解，可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果

5、相同。(2)精确解：13学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克（一）简并微扰理论（二）实例（三）讨论§3简并微扰理论14学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克假设En(0)是简并的，那末属于H(0)的本征值En(0)有k个归一化本征函数：

6、n1>,

7、n2>,......,

8、nk>

9、n>=满足本征方程：于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的0级近似?0级近似波函数肯定应从这k个

10、n>中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：共轭方程（一

11、）简并微扰理论15学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克系数c由一次幂方程定出左乘

12、得：16学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组，它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即17学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克解此久期方程可得能量的一级修正En(1)的k个根：En(1),=1,2,...,k.因为En=En(0)+E(1)n所以，若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将k度简并完全消除；若En

13、(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把E(1)n之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k.)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数。为了能表示出c是对应与第个能量一级修正En(1)的一组系数，我们在其上加上角标而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：18学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。------洛克求解过程:(1)(3)求解19学到很多东西的诀窍，就是

14、一下子不要学很多。------洛克例1.氢原子一级Stark效应（1）Stark效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为Stark效应。氢原子第n个能级有n2度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。（2）外电场下氢原子Hamilton量取外电场沿z正