2019年五特征值与特征向量ppt课件.ppt

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1、矩阵的特征值与特征向量一.特征值与特征向量的求法1.利用定义求特征值与特征向量注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值.为此，首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值.求特征向量即求齐次方程组(A-E)x=0的基础解系.2.利用公式求特征值与特征向量二.A与对角阵相似的解题方法注：当矩阵有重特征值时，我们用定理“A与对角阵相似的充要条件为r(A-iE)=n-ri”来判定A能否与对角阵相似，其中ri为特征值i的重数，n为矩阵A的阶数.注：矩阵相似对角化的步骤：(1)求出A的所有特征值1,2,…,n，若

2、1,2,…,n互异，则A与对角阵相似；若1,2,…,n中互异的为1,2,…,m，每个i的重数为ri，当r(A-iE)=n-ri时(i=1,2,…m)，A与对角阵相似；否则A不能与对角阵相似.(2)当A与对角阵相似时，求出A的n个线性无关的特征向量1,2,…,n，并令P=(1,2,…,n)，则P可逆，且P-1AP=.注：对于实对称矩阵A，一定有可逆阵P，使P－1AP为对角阵，P的列向量为A的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为A的特征值，而且也一定有正交阵Q，使Q－1AQ为对角阵.当A的特征值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化，即可求

3、得正交阵Q；当A有k重特征值时，这个k重特征值一定对应有k个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵Q来了.三.方阵A及其特征值、特征向量的互求四.An的求法五.证明题