2019年北京大学高等数学课件.ppt

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1、§1．4函数的极限四、自变量趋于无穷大时函数的极限一、单侧极限右极限的通俗定义、右极限的几何意义、极限的局部保号性、右极限的精确定义、函数极限精确定义、极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义、水平渐近线二、双侧极限左极限的精确定义、三、关于函数极限的定理§1.4函数的极限序列的极限是函数极限的特殊情形.下面考虑一般函数的极限,即在自变量x的某一变化过程中,函数的变化情况.这时,自变量的变化有下面这些可能:axxaaxoxxoox一、单侧极限例⒈符号函数1-1xyo称符号函数在原点的右极限为1,记作

2、称符号函数在原点的左极限为－1,记作记为例3.函数y={x}=x－[x],表示x的小数部分.0123xy称函数{x}在点x=1的右极限为0,记作称函数{x}在点x=1的左极限为1,记作显然,对任意整数n,都有1x-1当x0+0或x0－0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，5例6axb定义(右极限和左极限)axb右极限和左极限统称为单侧极限.二、双侧极限f(x)=l或f(x)l(当xa)．双侧极限的通俗定义：在自变量趋于常数a的过程中，如果对应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数l，那么这个

3、确定的常数l就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限．当xa时，f(x)以l为极限记为分析：当xa时，f(x)l当

4、x-a

5、0时，

6、f(x)-l

7、能任意小任给e>0，当

8、x-a

9、小到某一时刻，有

10、f(x)-l

11、0，存在d>0，使当

12、x-a

13、

14、f(x)-l

15、0,要找d>0，使得0<

16、x-x0

17、

18、f(x)-l

19、

20、了!这样的d也能用,看来有一个d符合要求,就会有无穷多个d符合要求!ddyy=x-1-11y=x+1xO例7函数当x0时f(x)的极限不存在．因为f(x)在x=0的左极限为右极限为所以极限不存在．因此对于任意给定的正数e，任意取一正数d，当0<

21、x-x0

22、

23、f(x)-c

24、=

25、c-c

26、=0

27、f(x)-c

28、=

29、c-c

30、=0，注函数极限定义中不要求函数y=f(x)在点a有定义.我们仅关心:当自变量x从a的两侧趋于a时函数值的变化

31、趋势.因此,f(a)可以不存在,即使存在,也可能和极限值没有关系.分析::

32、f(x)-l

33、

34、c-c

35、0.e>0d>0当0

36、x-x0

37、d时,都有

38、f(x)-l

39、e.证明：因为e>0，d=e>0，所以只需

40、x-1

41、

42、f(x)-2

43、=

44、x-1

45、

46、x-1

47、

48、f(x)-2

49、=

50、-2

51、=

52、x+1-2

53、=

54、x-1

55、，要使

56、f(x)-2

57、

58、关于函数极限的定理定理1(这是函数极限的夹逼定理,证明从略)首先注意到设法构造一个“夹逼不等式”，使函数在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数g(x),h(x)之间，以便应用夹逼定理作如图所示的单位圆注此结论可推广到定理2(函数极限的四则运算性质)例8解ly=f(x)x0Oyxx0+dx0-dx0+dx0-d(极限的局部保号性)如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的定理3(函数极限的唯一性)5lll,定理5点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)>0(或f(x)<0

59、)．注:这样的邻域不唯一.定理6如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且证明：设f(x)0．假设上述论断不成立，即设l<0，那么由上面的定理5就有x0的某一去心邻域,在该邻域内f(x)<0，这与f(x)0的假定矛盾．所以l0．定理7定理8lll证由假定,定理8告诉我们一个证明函数极限不存在的方法,见下例.若当x+时，f(x)无限接近于某常数l，类似地有和记为f(x)当x+时的极限，则常数l叫做函数叙述？这三者之间的关系如何？如何用数学语言刻划函数“无限趋近”.lll四、

60、自变量趋于无穷大时函数的极限e>0，X>0，x:x>X，有

61、f(x)-l

62、X的一切x，对应的函数数值f(x)都满足不等式

63、f(x)-l

64、