2019年微积分高数942（20193）课件.ppt

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1、2.利用柱面坐标求三重积分.xzy0drrrddz平面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；柱面坐标下的体积元素xzy0drrrddz底面积：rdrd半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dzdV=.平面z+dz.yxzoz=rz=1D1.Dxy:z=0.0xzyD例6I=若是一母线平行于z轴的柱面,z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)Dxy,在xy面上的投影区域Dxy则可考虑用柱面坐标求三重积分.并可将其化为先对z,再对r,再对的三次积分(即先对z积分,然后在Dxy上用极

2、坐标做二重积分).其中由x2+y2=2z及z=2所围成.求解：一般,若的表达式中含有x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分.令x=rcos,y=rsin,z=z,且z2,0r2,02.xzyx2+y2=2zx2+y2=4或r=2o2练习2注：常用的二次曲面有,球面,椭球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋转抛物面),ax2+by2=z(椭圆抛物面),a2(x2+y2)=z2(圆锥面).球面坐标与直角坐标的关系为3.利用球面坐标计算三重积分.规定0r<+,0,02(或)Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)yzx0

3、MP=常数:锥面C.rdrdrsinxzy0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：drsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+drdrdxzy0drdrsind.r2sindrdd若的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分.比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛物面,但不绝对.若的表达式中含x2+y2+z2,可考虑用球面坐标.比如,球面与圆锥面,但不绝对.用两种方法计算其中解：利用函数与域的对称性，练习3用柱坐标：解：用球坐标：用两种方法计算其中练习3