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时间：2020-07-29
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1、反函数的求导法则定理3.3设直接函数x=(y)在某区间内单调、可导,且'(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区间内也可导,且导数为证:因x=(y)可导,所以x=(y)必连续,从而y=f(x)也连续.故△x0时,△y0.例8证明(ax)'=axlna(a>0,a≠1)证:令y=ax,则x=logay是它的反函数.证:令y=arccosx,它的反函数为x=cosy且(cosy)'=siny例9证(略)例10请思考:(sin2x)'=cos2x正确吗？事实上: (sin2x)'=(2sinxcosx)'
2、=2(cos2xsin2x)=2cos2x.复合函数求导法则：定理3.4设u=(x)在点x处可导,y=f(u)在对应点u可导,则复合函数y=f[(x)]在点x处可导,且(3.4)也可写成yx'=yu'·ux'或{f[(x)]}'=f'(u)·'(x).证:例11已知y=(2x1)10,解例12已知y=lntanx,解例13解例14解问y'=?若y=f(u),u=(v),v=(x)均可导,则复合函数y=f{[(x)}的导数为(3.5)推广:y—u—v—x链式法则证:y=f{[(x)]}也可看成
3、是由y=f(u),u=[(x)]复合而成的.而u=[(x)]又可以看成是由u=(v),v=(x)复合而成的.例15已知y=ln(arctanex),求y'.请思考:令y=lnu,u=arcv,v=tanex,这种分解对吗?解令y=lnu,u=arctanv,v=ex,例16解例17解例18解例19解作业
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