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1、分类讨论一.数学思想方法的三个层次:数学思想和方法数学一般方法逻辑学中的方法(或思维方法)数学思想方法配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等分析法、综合法、归纳法、反证法等函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等分类讨论思想分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到
2、各种结论，这就是讨论。分类讨论思想分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。一.与概念有关的分类1.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，，相应的函数值的取值范围是-5≤
3、y≤-2，则这个函数的解析式。-5=-3k+b-2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b解析式为Y=x-4,或y=-x-32.函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（-，0）；当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1,△=a2-10a+9=0.解得a=1或a=9,交点为（-1，0）或（，0）二.图形位置的分类如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ
4、150°⌒ＣaＥＦＨ探索题1:探索题２:在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！BAC50°110°20°1、对∠A进行讨论2、对∠B进行讨论3、对∠C进行讨论CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°（分类讨论）BAC50°110°20°3.如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直
5、线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。ABCPOQ解：∵OQ=OC，OQ=QP∴∠OQC=∠OCQ，∠QOP=∠QPO设∠OCP=x0,则有：（2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在线段OB上。（1）如上图，当点P在线段OA上时，∵∠OQC=∠OCP=x,∴∠QPO=（1800－∠OQP）=（1800－x)又∠QPO=∠OCP+∠COP，(1800－x)=x+300,解得x=400,即∠OCP=400OQCPBAQPOCBA（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线
6、上时，∵∠OQC=∠OCQ=1800－ｘ，∴∠OPQ=（1800－x)=x.又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴1800－x=x+300解得x=1000即∠OCP=1000（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,∴∠QPO=∠OQC=x,又∠COA=∠OCP+∠CPO,解方程30=x+x,得到x=200即∠OCP=2006。在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？CBA4。在半径为1的圆O中
7、，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是。5。△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2cm,则角A的度数是。CABCACBBACCBACBA7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？图1图2图3解：分三种情况计算：⑴当AE=AF=5厘米时（图一）⑵当AE=EF=5厘米时（图2）∴⑶当AE=
8、EF=5厘米时（图3）∴三.与相似三角形有关的分类9。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与
