lec20 线性方程组的最小二乘解.ppt

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1、几何与代数主讲:2010年国家级精品课程教学内容和学时分配第四章n维向量教学内容学时数§4.1n维向量空间2§4.2向量组的线性相关性4§4.3子空间的基和维数2§4.4向量的内积2§4.5线性方程组的解的结构2§4.6线性方程组的最小二乘解1基础解系本质是解向量组的极大无关组,维数为n-r(A)r(A,b)=r(A)+1Ax=b无解b不能由A的列向量组线性表示直线(或平面)间无公共点;(2)r(A,b)=r(A)=nAx=b有唯一解b可由A的列向量组唯一地线性表示直线(或平面)间有唯一公共点;(3)r(A,b)=r(A)

2、穷多解,且通解中含有nr(A)个自由变量,Ax=0的基础解系有nr(A)个解向量b可由A的列向量组线性表示,但表示方式不唯一直线(或平面)重合或平面交于一条直线.x=0+k11+…+knrnr.一.解的存在性和唯一性二.齐次线性方程组的基础解系三.非齐次线性方程组的一般解一.线性方程组无解时的近似解定理4.13.设ARmn,bRm,则(1)r(A,b)=r(A)+1Ax=b无解;(2)r(A,b)=r(A)=nAx=b有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)

3、b能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)=r(A,b)Ax=b有解.bL(1,2,…,n)=R(A)={Ax

4、xRn}b不能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)r(A,b)Ax=b无解.bL(1,2,…,n)=R(A)={Ax

5、xRn}线性方程组近似解的应用——曲线拟合例.已知某铜棒的电阻与温度关系为：实验测得7组数据，试确定参量R0,使得这7组观测点到该直线的距离最小。第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解r(A)r(A,b)Ax=b无解bR(A)={Ax

6、xRn}t/℃19.125.1

7、30.136.040.045.150.1Rt/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：即Ax=br(A)r(A,b)Ax=b无解xA例.已知某铜棒的电阻与温度关系为：实验测得7组数据，试确定参量R0,使得这7组观测点到该直线的距离最小。第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解t/℃19.125.130.136.040.045.150.1Rt/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：Ax==b无解问题：要找一个近似解R(A)={Ax

8、xRn}，使得线性方程组近似解

9、的应用——曲线拟合一.线性方程组无解时的近似解问题：能否找一个近似解R(A)，使得第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解b能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)=r(A,b)Ax=b有解.bR(A)={Ax

10、xRn}b不能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)r(A,b)Ax=b无解.bR(A)={Ax

11、xRn}=b

12、

13、b-

14、

15、=0

16、

17、b-

18、

19、>0二.R3上b的正投影向量问题：能否找一个近似解R(A)={Ax

20、xRn}，使得第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解b不能由向量组I:1,

21、…,n线性表示r(A)r(A,b)Ax=b无解.bR(A)={Ax

22、xRn}

23、

24、b-

25、

26、>0=R(A)bb-b-A32,r(A)=2,R(A)为一平面二.R3上b的正投影向量问题：能否找一个近似解R(A)={Ax

27、xRn}，使得第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解bR(A)={Ax

28、xRn}为b在平面上的正投影向量

29、

30、b-

31、

32、>0=R(A)bb-b-b-与正交,=0b不能由向量组I:1,…,n线性表示i,=0,i=1,…,

33、n三.Rm上b的正投影向量问题：能否找一个近似解={Ax

34、xRn}，使得第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解为b在R(A)上的正投影向量=R(A)bb-b-b-与R(A)正交i,=0i,iT(b-)=0i,iT(b-Ax)=0总是有解的三.Rm上b的正投影向量问题：能否找一个近似解R(A)={Ax

35、xRn}，使得第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解为b在R(A)上的正投影向量=R(A)bb-b-b-与R(A)正交i,iT(b-Ax)=0A

36、x=b的正规方程Ax=b的最佳近似解就是ATAx=ATb的精确解.Ax=b的最小二乘解例.已知