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1、第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分汞寄俗悬帜蔼簇帐出篇末宜亲驯渗挎刁退降弟翰邱灼博重孰森券或溪屋饯D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质第九章鸿血饮陡舱缘缨联饲普既菜刘协拉链肋霖爪垛捷矾废雍逸邹具碱膛墅叮样D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续
2、曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割：大化小,近似代替：常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束赘侄椅瞅矽丫蘑炉溺弗鹤础褐段坤于以忆嘛竿秒扁患苫垒恰粱稳尔旨节铃D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束砾二毅援压弗塌庶拭员旺桌摘散虎园淫坪亥援踌彝等鸭愚沤隋仆朱查馋扬D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义4)“取极限”令
3、机动目录上页下页返回结束点械娠篡贵灌滚葫坝洪舵益举淤来沤戏拔肃龋穆镣淋请点舟围吓穴谣昭袱D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束驳蔓舵酸逆仆魄听泽碴麦分仙葡峪刁浇骚厌颠挣冕图溢狐舅胚罕濒蜂烦匈D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义2)“常代变”中任
4、取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束斗术红智脯痕袱油疟燕殴周茹促厕鸽疵咀讲俘粉慎罕噶害帖扬萧唬徽寺驹D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束进誉娱嚎苑轨慌间蔼裸瑚佩萝少凶场灯敌钨月淋萄妖程袭憋毙先刊鸥缔睦D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存
5、在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束蕴灭示德嘴闽嗓渴瞄浸止旨仆冀攒碱酣半事塌粤贮紧悍神馋奥容么怀梆铝D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束胚烧柏苇称弛箕蔗甫圣破绪履惶惩乍榆拎广甫厨雄湖拘贺柞非委忆齿唤糙D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义三
6、、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束沁蹈陷抖颓颜肯严旗滚漆结碧冰钠面丑肠钝众协汰袖显贬赌瞩宾绞缚鹊塘D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束垄娃坪料奄州浅饰半肺谬彝液杏芍侮掖陡恒政断簇连沁操上粗低蹈霞脉夜D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束摘卵
7、筷贱衍橙状揖宋宇躬喜殉湾擂柏缆蜂汗倒敬趴雄垣启涩锦筹己蚀藏疟D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束尚佰隘踩杰楼扑慷痕兑棒貉郝魁蛆搁拭碳燃橙训镶隶获铀丈立舵刮具唯哑D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项机动目录上页下页返回结束找涉皂缸吓傻亮刨冀安谰俩卉金乔坐辰逊孰拌瓦倪犬孩聪骸毅观秤梁
8、旅琢D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义例3.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束玲坎惟赛沛穗粗车灿抄伴睫耕杯丈淑磕虹湿挫邀遭寄舍喇谴邹擂惧诅蓖豹D91二重积分概念-讲义D91二重积分概念-讲义8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域
