D2-11多元函数积分学-重积分(55p)课件.ppt

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1、第二章二、典型例题分析与解答机动目录上页下页返回结束—重积分一、知识点与考点多元函数积分学(一)机动目录上页下页返回结束一、知识点与考点(一)重积分2.二(三)重积分的性质非均匀空间体的质量三重积分的物理意义:1.二(三)重积分的概念与几何和物理意义二重积分的几何意义:曲顶柱体的体积物理意义:非均匀平面薄片的质量性质1.(与定积分类似)机动目录上页下页返回结束则有性质4.性质5.若性质3.则有若性质2.其中为D的面积.若则有推论1若则有推论2机动目录上页下页返回结束性质7.若f(x,y)是D上的连续函数

2、,一点(,),成立,其中表示D的面积.则有①如果积分区域D关于x轴上下对称,则在D上至少存在性质8.(对称性)则有0,其中为D的面积.f(x,y)关于y是偶函数,f(x,–y)=f(x,y)即有:f(x,y)关于y是奇函数,f(x,–y)=–f(x,y)性质6.若M和m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值,使等式机动目录上页下页返回结束②如果积分区域D关于y轴左右对称,即有:则有0,f(x,y)关于x是奇函数,f(–x,y)=–f(x,y)f(x,y)关于x是偶函数,f(–x,y)=f(x,y

3、)③如果积分区域D关于原点对称,即有:则有0,f(x,y)关于x,y是奇函数,f(–x,–y)=–f(x,y)f(x,y)关于x,y是偶函数,f(–x,–y)=f(x,y)④如果积分区域D关于直线y=x对称,f(x,y)关于x,y对称,即f(x,y)=f(y,x),则有即有:被积函数的奇偶①利用对称性计算二重积分时,机动目录上页下页返回结束②对于三重积分也有类似的对称性.注意:即f(x,y,–z)=–f(x,y,z),性与积分区域的对称性必须匹配.若f(x,y,z)关于z是奇函数,若积分区域关于xoy坐

4、标面上下是对称的,则有若f(x,y,z)关于z是偶函数,即f(x,y,–z)=f(x,y,z),则有在xoy坐标面上方的部分为若积分区域关于xoz坐标面或yoz坐标面对称时,也有类似的性质.而被积函数有相应的奇偶性时,3.重积分的计算法①利用直角坐标计算二重积分若积分区域D可表示为机动目录上页下页返回结束则二重积分可化为二次积分:若积分区域D可表示为则二重积分可化为二次积分:(1).二重积分特别地:若积分区域D可表示为机动目录上页下页返回结束则二重积分可化为两个定积分的乘积:而被积函数可表示为②利用极

5、坐标计算二重积分若积分区域D可表示为则二重积分可化为二次积分机动目录上页下页返回结束则D可表示为:若积分区域D的图形为:此时二重积分可化为二次积分若积分区域为圆域或部分圆域;或被积函数为一般应选择极坐标计算二重积分.(2)三重积分机动目录上页下页返回结束“先一后二法”:“先二后一法”:①利用直角坐标计算三重积分②利用柱面坐标计算三重积分机动目录上页下页返回结束锥体,若积分区域为柱体,③利用球面坐标计算三重积分或锥面与旋转抛物面围成;被积函数为一般应选择柱面坐标计算三重积分.若积分区域为球体或球体的一部

6、分;被积函数为一般应选择球面坐标计算三重积分.目录上页下页返回结束(1)曲面面积①设曲面的方程为z=z(x,y),它在xoy坐标面的投影区域为则曲面的面积A为:4.重积分的应用②设曲面的方程为y=y(x,z),它在xoz坐标面的投影区域为则曲面的面积A为:③设曲面的方程为x=x(y,z),它在yoz坐标面的投影区域为则曲面的面积A为:机动目录上页下页返回结束若平面薄片在xoy坐标面占据区域为D,其面密度则其质量M为(3)非均匀平面薄片的重心(4)非均匀平面薄片的转动惯量(2)非均匀平面薄片的质

7、量为=(x,y),机动目录上页下页返回结束若空间体在空间直角坐(5)非均匀空间体的质量:其密度为=(x,y,z),则其质量M为:标系o–xyz所占区域为,(6).非均匀空间体的重心:(7).非均匀空间体的转动惯量:二、典型例题分析与解答:机动目录上页下页返回结束例1.(90,3分)的值为_________.解:按题目所给累次积分次序无法积分,所以应改变所给二次积分的次序.积不出来,积分题型1二重积分注释:本题考查二重积分计算.因为积分由已给二次积分知积分区域D为:画积分区域D的图形.改变积分次

8、序得:(6-11)例2.(06.10分)解:设区域计算二重积分机动目录上页下页返回结束画积分区域图形.注释:本题考查利用对称性和极坐标计算二重积分.其中极坐标(由于对称性)(6-53)例3.(02.3分)解:交换积分次序机动目录上页下页返回结束依题意积分区域D为:(数三)画出区域D的图形:改变积分次序后为:例4.(05.9分)解:计算二重积分机动目录上页下页返回结束其中(数三)为去绝对值号将积分区域D分割为则有:两部分如图示: