pp高等数学基础知识课件.ppt

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1、案例一中国古代数学家庄周（约公元前369－公元前286年）在《庄子·天下篇》中引述惠施的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是指一尺的木棒，第一天取它的一半，即1/2尺；第二天再取剩下的一半，即1/4尺；第三天再取第二天剩下的一半，即1/8尺；我们可以一天天地取下去，而木棒是永远也取不完的.我们将每天剩余的木棒长度写出来就是：返回n可以无穷无尽的取值，但当n很大时，很小；当n无限增大时，无限接近于0，我们称当时，的极限为0.记为：称为无穷大量，表示绝对值无限增大的量.在轴正向上的无穷大量称为正无穷大量，记为；在轴负向上的无穷大量称为负无穷大量,记为.表示变量

2、取自然数,在轴正向上无限增大的变化趋势.案例二n=4n=8圆周长的计算.以前学习过正多边形周长的计算.现在通过圆内接正多边形的周长来计算圆的周长.返回如图观察圆内接正多边形的周长与圆周长的关系.内接正四边形的周长记为，内接正六边形的周长记为，内接正边形的周长记为，随着圆内接正多边形边数的无限增加，多边形的周长无限接近圆的周长.当多边形的边数无限增加，即时，多边形周长的变化趋势（极限）就是圆的周长.圆内接正多边形对圆周进行了分割，分点间用直线连接，并用直线段的长度去替代这段弧的长度，用多边形周长去逼近圆的周长.这正是我国古代数学家刘徽的割圆术的思想.“割之弥细，所失弥少，割

3、之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽这样，利用极限的思想解决了看似困难的圆周长的计算问题（具体证明我们将在1.4节的数学实验部分给出）.案例三连续复利函数问题设P为本金，i为年利率，如果一年计息一次，那么年末本利和为如果一年计算利息两次（每半年计算一次利息），每次利率为，半年本利和为类似地，一年计算三次利息时，年末本利和为次,则年末本利和为年末本利和为:……，如果一年计息如果按连续复利方式(随时计算利息，一年计算无穷多次利息)计算利息，那么年末本利和该是多少呢？返回解已知一年计算次利息，年末本利和为.在连续复利方式下，一年计算无穷多次利息，其本利和就是当

4、时,的变化趋势（极限），这个极限结果（在后面的内容中给出）也就是连续复利函数.在本例中，通过已知结论(每年计息一次、两次……m次),利用极限(让计息次数趋于无穷大)得到了未知的连续复利函数.案例四解中学物理知识告诉我们：对于匀速直线运动来说，速度=我们知道，汽车的运行是变速的，下面我们来考察如何利用匀速运动去刻画变速运动.返回考虑时间段，汽车在该时间段内运行的路程为当充分小时，汽车在该时间段内的运行可近似地视为匀速运动,其平均速度为:当无限接近于0时，平均速度，所以2．无限地接近于瞬时速度本例中，通过平均速度在时间间隔趋于零时的极限得到了瞬时速度，也是利用极限解决实际问题

5、的例子案例五曲边梯形的面积如图1－2，研究平面直角坐标系下，由闭区间上的连续曲线()，直线，及轴所围成的曲边梯形的面积的计算问题.解根据公式矩形面积=底高解决了直边图形面积的计算问题．0xyabx1x2x3xn…ξ1ξ2ξ3ξn-1…对于曲边梯形不能直接应用上述公式.但由于曲边上每点的高在[a,b]上是连续变化的，在很小一段区间上它的变化很小．基于这一认识，用平行于轴的直线将曲边梯形分割成若干小曲边梯形.对于每个小曲边梯形，由于底边很窄，其顶部曲线近似于直线，可近似地看作一个小矩形，其底边都在轴上，而高为底边上任一点的函数值.这些小矩形面积的和可作为曲边梯形面积的一个近似

6、值.显然，分割越细，近似程度越高.依此，将曲边梯形无限细分，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值(图1－3).这也是利用极限思想解决问题的一个典型例子，这个问题的具体解答将在定积分的学习时给出.返回