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1、参数法在解题中的妙用精品文档参数法在解题中的妙用广东佛山市顺德区汇贤中学（528308）赵阳云参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。在解题中若能巧妙的选择好参数，就能达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。以下几个例子，供大家参考。一、巧设参数,解‘连等式’问题例1、若，求x,y,z（甘肃升中题）。解：设k（k≠0）,那么x=2k、y=3k、z=4k代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，
2、所以:x=，y=，z=.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。二、巧设参数,解‘代数式的最值’问题例2、设a、b为实数，那么a2+ab+b2－a－2b的最小值是多少？（1998年全国初中数学联赛）解：设a2+ab+b2－a－2b=k，整理得：b2＋(a－2)b＋（a2－a－k）=0把上述等式看成是关于b的方程,因为b为实数，△≥0，（a－2）2－4a2＋4a＋4k≥0,4k≥3a2－4k≥a2－1∵a为实数，所以：当a=0时，k有最小值为－1。即a2+ab+b2－a－2b的最小
3、值是－1。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档评注：引入参数，把代数式问题转化为方程的问题是本题的独到之处。三、巧设参数,求‘方程的整数解’问题例3、求3x+5y=27的正整数解。解：显然此不定方程的一组正整数解为：x=4，y=3设3x+5y=27的整数解的参数方程为：（k为参数，且为整数）∵x＞0，y＞0，，解得：＜k＜1∴k=o，所以：此方程的正整数解为1组，为x=4，y=3评注：引入参数，把非定向的问题转化为定向问题，构造含参数方程组是解题的关键。四、巧设参数,解‘不等式’问题例4、若x
4、＋y＋z=1,求证：x2＋y2+z2≥。证明：设x=－k1，y=－k2，z=＋(k1＋k2)x2＋y2+z2=(－k1)2＋(－k2)2＋[＋(k1＋k2)]2=＋k12＋k22＋(k1＋k2)2≥当且仅当k1=k2=0时，等号成立。评注：引入参数，构造出含有目标的数字，参数在证明过程中起到了一种‘桥梁’的作用。五、巧设参数,解‘完全平方数’问题例5、设N=23x+92y为完全平方数且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x,y）共有多少对？（2002年全国初中数学联合竞赛）解：N=23（x+
5、4y）为不超过2392的完全平方数。23为素数（即质数）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档所以x+4y必为23的倍数。设x+4y=23k(k为参数，且是完全平方数)N=23×23k≤2392，k≤＜5，所以：k=1或4当k=1时，x+4y=23，x=23－4y，x为正整数，所以：y=1，2，3，4，5；x=19,15,11,7,3当k=4时，x+4y=92，x=92－4y，x为正整数，所以：y=1，2，3，…，22；x=88，84，80，…，4所以满足条件的一切正整数对（x,y）共有5+22
6、=27对。评注：抓住完全平方数的特征，引入参数，从而达到化繁为简，化难为易的目的。六、巧设参数,解‘应用题’问题例6、已知一个五边形，其中每四边的和分别为：12、18、21、18、19，求五边形各边的长？解：设五边形的五边的和为k，则根据题意得：(k－12)＋(k－18)＋(k－21)＋(k－18)＋(k－19)=k解得：k=22所以：五边形的各边的长为：10、4、1、4、2；评注：单独设元直接列方程去解，复杂难解，引入一个整体参数，把五元方程变成一元方程是解决此题的一条捷径。参数法的应用范围广泛，只
7、要把握题目的特点，巧设参数是找到解题的突破口和提高解题速度的一把钥匙。练习：1、，求代数式的值？（仿照例1，答案：－）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2、求代数式的最大值和最小值？（仿照例2，答案：1，－4）3、求方程3x＋7y=323的正整数解的组数是多少？（仿照例3，答案14组）4、如果对于不小于8的自然数n，当3n＋1是一个完全平方数时，n＋1都能表示成m个完全平方数的和，那么m的最小值为多少？（仿照例5，答案：3）5、已知一个四边形，其中每三边的和分别为19、23、25、29，求四
8、边形各边的长？（仿照例6，答案：13、9、7、3）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
