刚体平面平行运动习题 课件.ppt

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1、刚体平面平行运动习题课刚体的平面平行运动:刚体运动时，刚体内每个点的轨迹都是一条平面曲线，各曲线所在平面都某一固定平面平行。运动的特点：1）刚体的质心始终位于同一个平面上。2）刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相同运动状态。3）刚体内平行于固定平面的各平面有相同的运动特征。三个自由度两个平动自由度一个转动自由度只须研究质心所在平面的运动:质心运动+绕质心转动1、运动学方程如图所示，取质心所在的平面为研究对象，任取一点A为基点（一般取质心）。则P点的运动方程为P点运动随基点A平动绕基点的转动基点A可以任意取基点A的平动量（）因基点

2、而异；绕基点A的转动的角量（）都相同。2、刚体上任一点P的速度和加速度根据：刚体上任一点P的速度刚体上任一点P的加速度（为定长旋转矢量）3、运动学特例—圆柱体的纯滚动纯滚动：摩擦力足够大，接触点间无相对滑动。滑滚运动：摩擦力不够大，刚体既滚动又滑动。1）纯滚动的运动学判据：质心C的位移为：质心C的速度为：质心C的加速度为：运动学判据2）纯滚运动的速度分布：以质心C为基点：最高点D的速度为接触点A的速度为任一点E的速度为可见，代表刚体整体的速度，刚体上的每一点都具有这个平动速度。以接触点A为基点：任一点P的速度为因此有可见，对于纯滚动，若

3、取接触点A为基点，在某瞬时刚体的平面平行运动，可视为A点的单纯转动。作纯滚动的刚体，与平面的接触点就是它的瞬心。瞬时转动中心：在任何瞬时，作平面平行运动的刚体（或它的延伸体）上总有一点O，其速度v0=0。此刻刚体只能绕此点旋转。这个点称为瞬时转动中心，简称瞬心。确定瞬心的几何方法：1）若已知和，瞬心O在与垂直且相距的地方。2）若已知刚体上A、B两点同一时刻速度的方向，则它们垂线的交点即为瞬心。注意刚体作纯滚动时，接触点的速度为零，但加速度不为零。以质心C为基点有其中所以4.平面运动动力学刚体的平面平行运动随质心平动绕质心的转动三个自由度：两

4、个平动自由度和一个转动自由度取质心为基点动力学方程角动量定理质心运动定理注：也可以用动能定理或机械能守恒定律求解例1.沿固定斜面的纯滚动一半径为R、质量为m的匀质圆柱体,沿倾角为的固定斜面无滑动的滚下。若不计滚动摩擦。试求圆柱体质心的加速度。解：方法一利用运动叠加原理，质心的平动加绕质心的转动。动力学方程为（纯滚动条件）解上述四式可得1）根据实心圆柱体：实心球体：薄圆筒：【讨论】2）根据纯滚动的动力学判据：≤≥临界角转动惯量越小加速度越大方法二用机械能守恒定律。由于圆柱体作纯滚动，接触点无相对滑动，静摩擦力不做功，只有重力做功，机械能守恒。对上

5、式求导数得其中解得解得其中动力学方程为方法三视为绕瞬心A的纯转动。注意：一般情况对瞬心的角动量定理不成立，当满足条件“瞬心到质心的距离保持不变”时，对瞬心可用角动量定理.例2.沿加速平板表面的纯滚动在水平板上放一半径为R,质量为m的匀质球。设平板具有加速度a，球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。解：以球为研究对象、平板为参考系（非惯性系），则动力学方程为由以上三式解得：因此，球心的加速度为例3.何时开始纯滚动有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。一质量为m，半径为R的匀质圆柱体从高h处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运

6、动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数,求：1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。解：1）沿光滑斜面，圆柱体仅作滑动；沿水平面达到纯滚动前作滑滚运动。动力学方程为：由以上三式解得：达到纯滚动前有：达到纯滚动时有：解得作纯滚动经历的时间：2）达到纯滚动时经历的距离：例4.杆的自由倾倒匀质细杆AB长为2l，质量为m，最初使杆斜立于光滑水平面上，其倾角为0。今释放杆让其自由倾倒，求：1）杆的质心及杆的端点B的运动轨迹；2）杆的角速度与倾角的关系。解：杆在竖直平面内作平面平行运动。1）杆沿水平方向不受力。质

7、心C沿竖直方向作直线运动。沿该直线向上建立y坐标，则端点B的位置坐标为质消去参量可得端点B的轨迹方程为2）杆倾倒的过程中，只有重力做功，机械能守恒。对于质心C有由以上各式解得则有刚体的平衡状态：通常指静止状态。刚体平衡的充要条件：刚体所受外力的矢量和等于零，对任一个参考点的外力矩的矢量和等于零，即称为刚体的平衡方程5.刚体的平衡若刚体受力分布在OXY平面内，则其平衡方程可简化为(z轴垂直于Oxy平面）其他两种形式：OO´与x轴不垂直(O,O´,O´´三点不共线）注意若刚体在三个力的作用下处于平衡状态，此三力的作用线共面且必交于一点。N2m

8、gxyN1OO´如图所示，靠在光滑墙面上的梯子受力情况。例5.三力作用下的平衡半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一匀质棒斜靠在碗缘