高中数学 第三节 柯西不等式课时提升作业 新人教A版选修4-5.doc

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1、【全程复习方略】（福建专用）2014版高中数学第三节柯西不等式课时提升作业新人教A版选修4-51.已知a,b∈R+且a+b=1.求证:(ax+by)2≤ax2+by2.2.已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1.求证:-≤c≤1.3.在半径为R的圆内,求内接长方形的周长最大值.4.已知θ为锐角,a,b∈R+,求证:(a+b)2≤5.若a,b,c均为正数,且a+b+c=6,求的最大值.6.(2012·福建高考)已知函数f(x)=m-

2、x-2

3、,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值.(2)若

4、a,b,c∈R+,且=m,求证:a+2b+3c≥9.7.已知A,B,C是三角形内角的弧度数.求证:8.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:≥5.(2)求的最小值.9.设P是△ABC内的一点,x,y,z是P到三边a,b,c的距离,R是△ABC外接圆的半径,证明:10.(2013·福州模拟)(1)已知

5、x1-2

6、<1,

7、x2-2

8、<1.求证:2

9、x1-x2

10、<2.(2)设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=k,求证:答案解析1.【证明】设m=则

11、ax+by

12、=

13、m·n

14、≤

15、m

16、

17、n

18、=∴(

19、ax+by)2≤ax2+by2.2.【证明】∵a+2b+c=1,∴a+2b=1-c,又∵a2+b2+c2=1,∴a2+b2=1-c2.由柯西不等式得(12+22)·(a2+b2)≥(a+2b)2,即5·(1-c2)≥(1-c)2,整理得3c2-c-2≤0.解得-≤c≤1.3.【解析】如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1×x+1×).由柯西不等式得l≤2[x2+()2(12+12=2·2R=4R.当且仅当即x=R时等号成立.此时,即四边形ABCD为正方形,故周长最大的内接长方形为正方形,其周

20、长为4R.4.【证明】设m=(),n=(cosθ,sinθ),则

21、a+b

22、=

23、·cosθ+·sinθ

24、=

25、m·n

26、≤

27、m

28、

29、n

30、==∴(a+b)2≤5.【解析】由柯西不等式得()2=(1×+1×+1×)2≤(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3)=3(2×6+4)=48.∴当且仅当==即2a=2b+1=2c+3时等号成立,又a+b+c=6,∴a=,b=,c=时,++有最大值.6.【解析】(1)因为f(x+2)=m-

31、x

32、≥0,等价于

33、x

34、≤m,由

35、x

36、≤m有解,得m≥0,且其解集为{x

37、-m≤x≤m},又f(x+2)≥0的解集

38、为[-1,1],故m=1.(2)由(1)知=1,又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)()≥()2=9.7.【证明】∵A+B+C=π,∴π·()=(A+B+C)()=[()2+()2+()2]·[()2+()2+()2]≥=(1+1+1)2=9,∴≥.8.【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][]≥(5x+4y+3z)2,因为5x+4y+3z=10,所以=5.(2)根据基本不等式,得当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(5

39、2+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)≥2,当且仅当时,等号成立.综上,≥2·32=18.9.【证明】由柯西不等式得,设S为△ABC的面积,则ax+by+cz=2S=2·=故不等式成立.10.【证明】(1)∵

40、x1-2

41、<1,

42、x2-2

43、<1,∴1

44、x1-x2

45、=

46、(x1-2)-(x2-2)

47、≤

48、x1-2

49、+

50、x2-2

51、<1+1=2,∴

52、x1-x2

53、<2.(2)∵k·()=(a1+a2+a3)·()≥又因为k=a1+a2+a3>0,所以