2、BC=2,则∠C的最大值是 ( )A.B.C.D.6.“a=1”是“对任意正数x,2x+≥1”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题(每小题8分,共24分)7.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 .8.(2013·南通高二检测)已知a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2-4a2-b2的最大值为 .9.已知x>0,y>0且满足x+y=6,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围为 .三、解答题(10～11题各14分,12题18分)10.(2013·苏州高二检测)已知a
3、,b,x,y都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy.11.已知a,b,x,y∈R+,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b.12.(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式.(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计?
4、答案解析1.【解析】选D.因为x,y∈R+,所以≤,当且仅当x=4y=20时,等号成立.所以≤=10,所以xy≤100,所以lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.2.【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.【变式备选】已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值为( )A.2B.4C.16D.不存在【解析】选B.过A,B两点的直线方程为y=-(x-3),所以x=3-2y,所以2x+4y=+4y≥4,当且仅当=4y时,等号成立.3.【解析】选A.由等比知识,得Q==,而P=,且a3>
5、0,a9>0,q≠1,a3≠a9,所以>,即P>Q.4.【解析】选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.5.【解题指南】利用余弦定理,结合基本不等式求最值.【解析】选A.设AC=b,则cosC==+≥,因此∠C的最大值是.6.【解析】选A.当a=1时,2x+=2x+≥2(当且仅当x=时取等号),所以a=1⇒2x+≥1(x>0),反过来,对任意正数x,如当a=2时,2x+≥1恒成立,所以2x+≥1a=1.7.【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+
6、3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.答案:[9,+∞)8.【解析】因为a>0,b>0,2a+b=1,所以4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab,且1=2a+b≥2,即≤,ab≤,所以S=2-4a2-b2=2-(1-4ab)=2+4ab-1≤,当且仅当a=,b=时,等号成立.答案:9.【解题指南】由已知条件先求得+的最小值,只要m小于等于其最小值即可.【解析】因为x>0,y>0,+==≥(10+6)=,当且仅当=,又x+y=6,得x=,y=时取等号.所以m的取值范围是.答案:10.【证明】因为a,b,x,y
7、都是正数,所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)≥ab(2xy)+xy(a2+b2)=(a+b)2xy.因为a+b=1,所以(a+b)2xy=xy,所以(ax+by)(bx+ay)≥xy.【变式备选】已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:++≥9.【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.所以++≥9.11.【解析】因为x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2,当且仅当=时取等号.又(x+
