高中数学必修5：7_备课资料（2_4_2　等比数列的基本性质及其应用）.doc

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1、备课资料备用例题1.已知无穷数列,,,…,,….求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.证明：(1)(常数)，∴该数列成等比数列.(2),即：.(3)apaq=，∵p,q∈N，∴p+q≥2.∴p+q-1≥1且(p+q-1)∈N.∴∈(第p+q-1项).2.设a,b,c,d均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,求证：a,b,c成等比数列且公比为d.证法一：关于d的二次方程(a2+b2)

2、d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有实根，∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0.则必有：b2-ac=0，即b2=ac，∴a,b,c成等比数列.设公比为q，则b=aq,c=aq2代入(a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0.∵(q2+1)a2≠0，∴d2-2qd+q2=0，即d=q≠0.证法二：∵(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,∴(a2d2-2abd+b2)+(b2d

3、2-2bcd+c2)=0.∴(ad-b)2+(bd-c)2=0.∴ad=b，且bd=c.∵a,b,c,d非零，∴d.∴a,b,c成等比数列且公比为d.