高中数学 1-3-3 函数的最大（小）值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2.doc

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1、【名师一号】2014-2015学年高中数学1-3-3函数的最大（小）值与导数双基限时训练新人教版选修2-21．函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上的最大值点为(　　)A．x＝0B．x＝C．x＝D．x＝解析　令f′(x)＝1－2sinx＝0，则sinx＝，又x∈[0，]，∴x＝，又f(0)＝2，f()＝＋，f()＝，∴f()最大，∴最大值点为x＝.答案　B2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)A．0≤a<1B．0

2、1)内有解．∴0

3、x

4、<1)(　　)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当－1，f(2)＝－5

5、<，∴－10，∴当x∈(0,1)时，y′>0；当x∈(1,4)时，y′<0.故当x＝1时，y有极大值.又当x＝0时，y＝0；当x＝4时，y＝.∴最大值为.答案　B6．函数f(x)＝sinx＋cosx在x∈时，函数的最大值、最小值分别是________．解析　f′(x)＝cosx－sinx，x∈[－，]，令f′(x)＝0，得x＝，又f(

6、)＝，f(－)＝－1，f()＝1，即最大值为，最小值为－1.答案　，－17．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．解析　f′(x)＝12－3x2＝3(4－x2)，令f′(x)＝0，得x＝±2，而f(－3)＝－36＋27＝－9，f(－2)＝－24＋8＝－16，f(2)＝24－8＝16，f(3)＝36－27＝9.∴最小值是－16.答案　－168．设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数，且f′(x)>g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上的最大值为________．解析　F′(x)＝f′(x)－g′

7、(x)>0，∴F(x)在[a，b]上是增函数．∴最大值为F(b)＝f(b)－g(b)．答案　f(b)－g(b)9．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．解析　如图所示，设点P(x0，ex0)，则f′(x0)＝ex0(x0>0)．∴f(x)＝ex(x>0)在点P处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，令x＝0，得M(0，ex0－x0ex0)．过点P与l垂直的直线方程为y－ex0＝－(x－x0)，令x＝

8、0，得N(0，ex0＋)．∴2t＝ex0－x0ex0＋ex0＋＝2ex0－x0ex0＋x0e－x0，则(2t)′＝2ex0－ex0－x0ex0＋e－x0－x0e－x0＝(1－x0)(ex0＋e－x0)．∵ex0＋e－x0>0，∴当1－x0>0时，即00，∴2t在(0,1)上单调递增；当1－x0<0，即x0>1时，(2t)′<0，∴2t在(1，＋∞)上单调递减．故当x0＝1时，2t有最大值e＋，即t的最大值为(e＋)．答案　(e＋)10．已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2

9、,2]上的最值；(3)若函数f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是递增的，求a的取值范围．解　(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4.(2)由f′(－1)＝0，得a＝，此时f(x)＝(x2－4)(x－)，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝，或x＝－1.又f()＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象是开口向上的抛物线，且过定点(0，－4)．由条件得f′(－2)≥0，f′(2