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《高中数学必修5：3_备课资料（1_1_2 余弦定理）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、备课资料一、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC中,设三内角A、B、C的对边分别是A、B、C.∵,∴.∴.∴.∴.∴b-acosC=ccosA,即B=ccosA+acosC.类似地有C=acosB+bcosA,a=bcosC+ccosB.上述三式称为三角形中的射影定理.二、解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:(1
2、)已知两角及其中一个角的对边,如A、B、A,解△ABC.解：①根据A+B+C=π,求出角C;②根据,求B、C.如果已知的是两角和它们的夹边,如A、B、C，那么先求出第三角C,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角,如A、B、C,解△ABC.解：①根据C2=A2+B2-2abcosC,求出边C;②根据cosA=,求出角A;③由B=180°-A-C,求出角B.求出第三边C后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求A、B较小边所对的角(它
3、一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a、b、A,解△ABC.解：①,经过讨论求出B;②求出B后,由A+B+C=180°，求角C;③再根据,求出边C.(4)已知三边A、B、C,解△ABC.解：一般应用余弦定理求出两角后,再由A+B+C=180°,求出第三个角.另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.(5)已知三角,解△ABC.解：满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不唯一.三、“可解三
4、角形”与“需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．所谓“可解三角形”,是指己经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中必
5、有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素，并确定解的情况．“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．
