多元函数的极值与条件极值课件.ppt

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1、6-6多元函数的极值及其求法三、条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值二、多元函数的最大值和最小值1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值设函数),(yxfz=在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于的点),(yx若满足不等式),(),(00yxfyxf<，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf>则称函数在),(00yx有极小值。极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点),(00yx例1例２例３处有极小值．在函数)0,0(4322yxz+=处有极大值．在函数

2、)0,0(22yxz+-=处无极值．在函数)0,0(xyz=2、多元函数取得极值的条件证不妨设定理1（必要条件）设函数),(yxfz=在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00=yxfx，0),(00=yxfy.),(yxfz=在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意都有<),(yxf),(00yxf,推广如果三元函数),,(zyxfu=在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为：0),,(000=z

3、yxfx，0),,(000=zyxfy，0),,(000=zyxfz.说明一元函数),(0yxf在0xx=处有极大值,必有0),(00=yxfx;故当0yy=，0xx¹时，有<),(0yxf),(00yxf,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？例如,点)0,0(是函数xyz=的驻点，但不是极值点.定理2（充分条件）设函数),(yxfz=在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，驻点：凡是能使fx(xy)0fy(xy)0同时成立的点(x0y0)称为函数zf(xy)的驻点提示1.具有偏导数的

4、函数的极值点必定是驻点2.函数的驻点不一定是极值点又0),(00=yxfx,0),(00=yxfy，令Ayxfxx=),(00，Byxfxy=),(00，Cyxfyy=),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02>-BAC时具有极值，当0A时有极小值；（2）02<-BAC时没有极值；（3）02=-BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．解例4求函数的极值先解方程组求得驻点为将上方程组再分别对yx,求偏导数,在点处，又所以函数在处有极小值在点处，所以不是

5、极值；在点处，所以不是极值；在点处，又所以函数在处有极大值求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC-的符号，再判定是否是极值.求极值的步骤总结与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。假设函数在D上连续，偏导数存在且驻点只有有限个，则求最值的一般步骤为：1、求函数在D内部所有驻点处的函数值；2、求在D的边界上的最大值和最小值；3、将前两步得到的所有函数值进

6、行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.二、多元函数的最大值和最小值解如图,解设水箱的长为宽为则其高应为则水箱所用材料的面积求偏导数得例6某工厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解这方程组，得根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域内取得。又函数在内只有唯一的驻点因此当时，取得最小值。即当水箱的长为宽为高为时，水箱所用的材料最省。实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品

7、：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，且效果函数为U(x,y)=lnx+lny．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法1.条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.上述问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题,这是一个条件极值问题.例如,求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积Vxyz.又因假定表面积为a2,所以自变量x,y

8、,z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2.要找函数),(yxfz=在条件0),(=yxj下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxFlj+=其中l为某一常数，可由ïîïíì==+=+.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxjljlj解出l,,y