天津大学《概率论与数理统计》协方差 课件.ppt

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1、§4.4协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y之间的某种关系§4.41协方差反映了随机变量X,Y之间的某种关系一.协方差对于二维随机变量(X,Y),如果存在则称它为X与Y的协方差，记为即:1.协方差的定义22.协方差的常用计算公式：若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为连续型，协方差和相关系数的计算43.协方差的基本性质:31)2)3)证:1),2)显然。4）前面已证二、相关系数对于二维随机变量(X,Y)称

2、为X与Y的相关系数4对此定义作如下说明1.将随机变量和标准化即令求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij1010p00q0

3、有函数关系132.相关系数满足1)的充要条件是存在常数a,b2)证：1)由使5此式说明相关系数实际上是随机变量X和Y经标准化之后新的随机变量的协方差.考虑新变量与之和的方差。2)必要性，设则6由方差性质4),存在常数C，使得下式成立即得如果可考虑也容易找到常数使得7取充分性,只要将代入由此表明，当时，X，Y存在着线性关系，这时如果给定一个随机变量之值，另一个随机变量值便可完全决定。得到8有线性关系是一个极端，另一极端是场合。3.若X与Y的相关系数则称X与Y不相关。例.做n次试验，X、Y分别表示试验成功、失败的次数，则X与Y的相关系数为（）1；-1；0；2.18X

4、,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关19例4设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y-1,求XZ解例420例3已知设,求解柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式设X与Y是两个随机变量若存在，证明:考虑实变量t的二次函数则23(1)理解数学期望和方差的概念,掌握它们的性质与计算;本章基本要求(4)了解矩,协方差和相关系数的概念和性质并会计算.(3)会计算随机变量函数的数学期望;(2)掌握几个重要分布的数学期望和方差;24