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《弹性力学 03章 平面问题的直角坐标解答课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章平面问题的直角坐标解答本章要点：利用第二章得出的基本方程，求解平面问题在直角坐标下的解答。主要包括以下主要内容：1.逆解法与半逆解法；2.多项式解答；3.位移分量的求出；4.简支梁受均布荷载；5.楔形体受重力和液体压力；第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(1)平衡微分方程解的形式常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程，其解：全解=齐次方程通解+非齐次方程的特解。1.特解常体力下特解形式：(1)(2)(3)2.通解式(a)的齐次方程：(c)(d)的通解。第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(1)
2、平衡微分方程解的形式(d)将式(d)第一式改写为(e)(f)由微分方程理论，必存在一函数A(x,y)，使得同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h)，有也必存在一函数B(x,y)，使得第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(1)平衡微分方程解的形式由微分方程理论，必存在一函数φ(x,y)，使得(i)(j)将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解(k)3.全解取特解为：则其全解为：(3-1)——常体力下平衡方程（a）的全解。由式(3-1)看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。φ(x,y)—平面问题的应力函数—Ai
3、ry应力函数第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(2)相容方程的应力函数表示(3-1)将式(3-1)代入常体力下的相容方程得：注意到体力X、Y为常量，有将上式展开，有(3-2)——应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(2)相容方程的应力函数表示(3-2)式(3-2)可简记为：或：式中：满足方程(3-2)的函数φ(x,y)称为重调和函数(或双调和函数)。按应力求解平面问题(X、Y=常量)的归结为：先由方程（3-2）求出应力函数：然后将代入式（3-1）求出应力分量：1.2.第三章平面问题的直角坐标解
4、答§3-1逆解法与半逆解法(3)应力函数求解方法1.逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界
5、条件和位移单值条件。2.半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(1)一次多项式多项式解答的适用于由一些直线边界构成的弹性体。多项式解答的目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。2.检验φ(x,y)是否满足双调和方程：显然φ(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。3.对应的应力分量：若体力：X=Y=0，则有：1.设其中：a、b、c为待定系数。在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。对应于无体力和无应力状态；第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(2)二次多项式１.其中：a、b、c为待定系
6、数。(设X=Y=0;a>0,b>0,c>0)检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有２.(可作为应力函数)３.由式（2-26）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论：二次多项式对应于均匀应力分布。第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(3)三次多项式1.其中:a、b、c、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有2.可作为应力函数(假定：X=Y=0)3.由式（2-26）计算应力分量：结论：三次多项式对应于线性应力分布。讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系：(1)由梁端部
7、的边界条件：(2)此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(3)三次多项式第三章平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出(1)形变分量本节以纯弯曲梁为例，说明如何由３个应力分量求出形变分量、位移分量。由前节可知：平面应力下的物理方程如下：l1hMM(a)将(a)代入物理方程得：(b)第三章平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出(2)位移分量将(b)式代入几何方程得：将(c)式前两式积分得：式中为未知函数将(d)代入(c)式第三式知：(c)
