微分方程的数值解法-fem课件.ppt

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1、第三部分偏微分方程的有限元方法一边值问题的变分原理1引论模型：在条件下求使得泛函达到最大的函数。（1）等周问题在长度一定的所有平面封闭曲线中，求所围面积为最大的曲线。定义：当求泛函在一个函数集合K中的极小（或极大）问题，则该问题称为变分问题。变分问题与微分方程的定解问题有一定的联系。（2）初等变分原理①一元二次函数的变分原理考察J(x)的极值情况。变分原理：设求，使与求解方程Lx=f等价。对称正定②多元二次函数的变分原理求J(x)取极小值的驻点，其中设设则J(x)可表示为：变分原理：设矩阵A对称正定，则下列两个

2、命题等价：求，使(a)(b)是方程的解上述两个例子表明：其中求二次函数的极小值问题和求线性代数方程（组）的解是等价的。（1）弦平衡的平衡原理与极小位能原理2两点边值问题的变分原理考察一根长为l的弦，两端固定在点A(0,0)和B(l,0)。当没有外力作用时，它的位置沿水平方向与X轴重合。设有强度为f(x)的外荷载垂直向下作用在弦上，于是弦发生形变。假定荷载很小，因而发生的形变也很小。用u(x)表示在荷载f(x)的作用下弦的平衡位置。求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题：设弦处于某一位置u=u(x)，可得到其总

3、位能为极小位能原理：其中T是弦的张力。平衡原理弦的平衡位置(记为)将在满足边值条件u(0)=0，u(l)=0的一切可能位置中，使位能取极小值。弦的平衡位置是下列变分问题的解在数学上，要将某个微分方程的定解问题转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。有限元方法正是利用这种等价性（边值问题与变分问题的等价性），先将微分方程定解问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方程）。（2）两点边值问题的变分原理①构造泛函

4、考察二阶常微分方程边值问题：引入泛函算子则②变分问题与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分问题是其中求，使③变分原理（变分问题与边值问题的等价性）设，是边值问题的解，则使J(u)达到极小值；反之，若使J(u)达到极小值，则是边值问题的解。其中是强制边界条件，是自然边界条件，区别这两类边界条件在用有限元方法求解边值问题时很重要。（3）虚功原理对两点边值问题：其中虚功原理，且满足变分方程：设，以v乘方程两端，沿[a,b]积分，并利用，得变分方程对任意在力学里，表示虚功设，则是边值问题解的充要条件是：对于复杂的边界条

5、件，边值问题的求解一般是困难的。若将微分方程化为相应的变分问题或变分方程，则只需处理强加边界条件，无需处理自然边界条件（自然边界条件已包含于变分问题中泛函的构造或已包含于给出的变分方程之中）。这一特点对研究微分方程离散化方法及其数值解带来了极大的方便。3二阶椭圆边值问题的变分原理（1）极小位能原理模型方程其中G是平面有界区域。①构造泛函引入泛函算子则②变分问题与前述二阶椭圆边值问题相应的变分问题是求，使其中③变分原理（变分问题与边值问题的等价性）对第一边值问题，无论齐次或非齐次边界条件，泛函是一样的，只是边界条

6、件要作为强加边值条件加在所取的函数类上。设，是二阶椭圆边值问题的解，则使J(u)达到极小值；反之，若使J(u)达到极小值，则是二阶椭圆边值问题的解。其中对第二、三类边值问题，无论齐次或非齐次边界条件，二次泛函形式相对于第一边值问题有所改变，但函数类的选取与边界条件无关。（2）虚功原理问题其中设，以v乘方程两端后在G上积分，并利用Green公式，得变分方程虚功原理在力学里，表示虚功设是边值问题的解，则对任意，满足变分方程。反之，若，且对任意满足变分方程，则为边值问题的解。与极小位能原理类似，第一类边界条件为强加边

7、界条件，第二、三类边界条件为自然边界条件。虚功原理比极小位能原理应用更广。目的：求解相应的变分问题或相应的变分方程。Ritz方法是近似求解变分问题(即二次泛函极小值)的算法。Galerkin方法是近似求解变分方程的算法，这两种算法统称为Ritz-Galerkin方法。Ritz-Galerkin方法的基本思想以下用V表示等Sobolev空间，L表示微分算子，(u,v)为由L及边值条件决定的双线性泛函。4Ritz-Galerkin方法用有限维空间的函数代替变分问题(或变分方程)中无限维空间的函数，从而在有限维函数

8、空间中求变分问题(或变分方程)的近似解，并要求当有限维空间的维数不断增加时，有限维近似解逼近原变分问题(或变分方程)的解。由极小位能原理得出的变分问题为：Ritz方法：求变分问题的近似解。（1）Ritz方法求，使其中，设是V的n维子空间，是的一组基底(称为基函数)。中任一元素可表示为即选择适当的，使取极小值。求，使Ritz方法：展开令则满足解出代入，则得Ritz方法步骤为：根据最小位能