微积分ppt(华中科技大学)课件.ppt

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1、一、定积分在几何上的应用平面图形的面积空间立体的体积平面曲线的弧长小结7/30/20211一、平面图形的面积1直角坐标系情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积7/30/20212面积元素选为积分变量解两曲线的交点，解方程组注被积函数为上-下，上为下为7/30/20213cd熟记用微元法：类似地7/30/20214解两曲线的交点选为积分变量注被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线7/30/20215如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积7/30/20216解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．7/30/20217面积元素曲

2、边扇形的面积2.极坐标系情形7/30/20218()do+dr=()元素法1取极角为积分变量，其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：..曲边扇形的面积dSS3作定积分.r7/30/20219解于是7/30/202110解利用对称性知7/30/202111解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积7/30/202112旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、空间立体的体积1.旋转体的体积7/30/202113xyo旋转体的体积公式7/3

3、0/202114xf(x)ab曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积7/30/202115xf(x)abx..111111111曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积V=7/30/202116xyo旋转体的体积为变化范围7/30/202117解直线方程为过原点及点7/30/2021187/30/2021197/30/202120x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕

4、y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cdy...求旋转体体积曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴解7/30/2021247/30/202125fx))()(22ppp+dxxfxxfdxxdV(2)(=-=证明：如图，体积元素7/30/202126利用公式，可知上例中7/30/2021272、平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积7/30/202128xA(x)dV=A(x)dxx已知平行

5、截面面积为A(x)的立体.aV以下是几个例子平行截面面积为已知的立体的体积b7/30/202129解截面面积立体体积建立坐标系，底圆方程为取平面与圆柱体的交线为轴，底面上过圆心、且垂直于轴的直线为轴7/30/202130oyRx–RR.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。7/30/202131oyRxxy–RR....ytan问题：还有别的方法吗？(x,y),截面积A(x).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。7/30/202132oyRx–R

6、R方法2.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。7/30/202133oyRx–RR方法2ABCDBCDC....截面积S(y)(x,y)=2x=ytan.S(y)半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。7/30/202134解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积7/30/202135hRxoy–R求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。7/30/202136hRxoxA(x)A(x)V=....–Ry.求以半径为

7、R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。y7/30/202137三平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念7/30/202138定理光滑曲线弧是可求长的.简介光滑曲线当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。7/30/202139弧长元素弧长2、直角坐标情形7/30/202140解x2,1y=因为(1dxxds2)12+=从而弧长元素所以弧长为例11计算曲线2332xy=上相应于x从a到b的一段弧的长度.7/30/202141设曲线弧为弧长3参数方程情形7/30/202142解

8、的一拱的长度.所以7/30/202143曲线弧为弧长4极坐标情形7/30/202144例12解7/30/202145从例13求阿基米德螺线qar=)0(>a上相应于q0到p2的弧