微积分第一章习题课教程课件.ppt

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1、高等数学习题课电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心高等数学习题课电子教程主要内容介绍典型例题选讲课堂自主练习第一章函数与极限1函数概念与性质的练习2极限概念与计算的练习3函数的连续性的练习基本概念熟练掌握的内容函数、复合函数、连续、间断、无穷小的阶等。理解的概念分段函数、函数的极限等。基本计算能力确定函数的定义域确定函数的连续点(区间)求极限.(四则运算法则、两个重要极限、无穷小的性质、等价无穷小的替换)求函数的间断点类型初等函数在其定义区间内都是连续的无穷小的

2、性质定理闭区间上连续函数的介值、零点存在定理应掌握的定理证：>0,

3、x31

4、=

5、(x1)(x2+x+1)

6、=

7、x1

8、

9、x2+x+1

10、因x1,故不妨设0<

11、x1

12、<1,即0

13、x2+x+1

14、=x2+x+1<4+2+1=7从而

15、x31

16、<7

17、x1

18、.考虑:要使

19、x31

20、<,只须7

21、x1

22、<,即

23、x1

24、<即可.例1适当放大法典型例题选讲取=min(,1),则当0<

25、x1

26、<时,(有

27、x1

28、<1及

29、x1

30、<)有

31、x31

32、<.例2证明>0,>0,当0<

33、xx0

34、<时,有

35、f(x)a

36、<,不妨设

37、证:证毕一.用极限的定义证明极限存在例1,例2为二.用极限存在准则确定极限例3解设xn故夹逼定理设证明数列有极限并求：例4且证明因为下面利用归纳法证明单调性所以显然有即有界由于不妨设成立，故所以单调增加.所以:有极限.由单调有界原理知设则解得:所以练习1（舍去）.解答:先用“单调有界数列必有极限”证明(1)单调性.=xn–1故xn单调递增.0n个an–1个a(2)有界性.00,由保号性定理,A0从而即将等分成

38、原式三.利用极限性质及四则运算求极限例5解：原式例6练习2解:将x=1代入分母,分母为0,不能用定理直接求极限.想办法约去使分子分母都为零的因子x–1.有有理化消除零因子练习3练习4解：从而解:注意到,若f(x)A,则f(x)=A+,为无穷小量.四.利用两个重要极限计算极限如何利用重要极限呢例7例7原式=例8例9练习5(1)(1)解:～～～～～～五.用等价无穷小代换求极限请记住一些常用的等价无穷小～～解:例10～～例11求原式重要极限与四则运算结合练习6练习7解:练习8练习9由得解：练习10从而另一种做法练习11解解法讨论由知现在考虑x从左右两

39、个方向趋于0时f(x)的极限右极限yxo1-1从右边趋于0六.用左右极限相等求极限左极限从左边趋于0左右极限不相等例13例14左右极限不相等,所以极限不存在例15设求练习解答练习7练习12七.根据极限求参数例15解:左右极限相等已知求之值解而即即例16解练习13由题设知，分子必须是x的零次多项式解答练习14即而是常数解设求练习15解因为所以即已知求练习16设函数指出间断点及类型.解该函数的间断点为当故点为函数的第二类间断点.时，由于七.关于函数连续性方面的习题当为函数的第一类间断点.例17若在连续，所以求解：由于处连续，在而故由：得解得（舍去），所以

40、例18试证方程的正根.至少有一个小于1证明：令则上连续.又因：在[0，1]由介值定理知，在[0，1]之间至少存在一点成立，故原结论成立.即使成立，例19显然，讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型练习17解答下面讨论在与处的连续性.当时，因为当时，且是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。因为故在处连续。综合所述，函数在内连续。练习18解练习19求的值，使函数在点处连续。解由连续性的定义可知，要使函数在x=0点连续，则应有而解根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根练习20解试确定练习21使其在点处连续的常数，例20证明讨论:由零点定理知,综上,测验题二

41、。设有函数试确定的值使在连续.测验题答案GoodBye感谢同学们！