华中科技大学-微积分-极限习题课及答案电子教案.doc

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1、例1求极限(1),解时,极限为1;时(充分大时,),原式。(2)解先求,所以原式=另法利用(3)解因为,即有当时,,由夹挤准则得,同理,故原极限为1。(4)解先求,原极限为。(5).解原式1(6).解分子为~,原式.练习(1)(答案)(2)(答案)(3)(答案)(4)(答案)(5)(答案)(6)(提示和差化积,极限为0)(7)设,,求。(提示:令,则。)例2设,,求解考虑,分三个情形:(1)若,极限为0.(2)若,则,易得1,故数列单调递减有下界,极限存在。对两边求极限得,从而。(3)时,同理求得。综上极限为0.例3设,且证明。分析问题中的递推公式互相关联,且平

2、均值不等式(几何平均与算术平均)可用,考虑单调有界准则。证由于,且可知为单调增加数列,为单调减少数列,且故数列极限都存在,设极限分别为,对两边取极限得,故。注此题变化为:,且则。例4求下列函数的间断点并判断类型:(1).(2).解(1)无定义的点为整数.因为,所以是跳跃间断点;因为所以是可去间断点;1时,是第二类间断点。思考:间断点将实轴分成子区间,函数在哪个子区间上有界?(2)无定义的点及.因为,故是的无穷间断点.又由于故是的跳跃间断点.例5设函数在闭区间上连续,。证明存在,使得。证令,,则由条件知在上连续,设其最小值与最大值为。则又直接计算得知故由连续函数的

3、介值定理,在区间内必能取到值0。亦即存在,使得。同型练习题:设函数在闭区间上连续,。证明存在,使得。例6设函数在实轴上连续,且。证明,使。1(用反证法)例7设在连续,且:,证明:时,是常数。证对任,.令,利用及连续性条件得,,即恒等于.同型练习题:设在连续,且,证明:是常数。例8设为常数,若不等式对所有成立,证明。例9设在内连续,且任给,有试证为线性函数,其中。证显然,,即为奇函数。又,,即。从而,故对有理数都有。任给,存在有理数数列,利用的连续性,得。注此题条件改为在处可导,且任给,有1则证法改变为,记为,从而,由得。2,侵权必究联系QQ68843242本页为

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