二重积分的计算法教程文件.ppt

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1、第二节二重积分的计算法一利用直角坐标计算二重积分利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。面积元素积分区域yX-型区域Y-型区域y设D（X型）：利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:若D为（Y型）：求二重积分的方法：将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算若D（X型）：若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域，使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值。例1计算，其中D是由直线y=1,x=2,及y=x所围区域。解法1把D看成X型域，则解法2把D看成Y型域，则例2计算，其中D是由抛物线及直线所围成的区

2、域。解把D看作Y型域则把D看作X型域由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域和它们分别用以下不等式表示：例3求若Y型D解X型则积分较繁。例4求所围成。分析若先后积分，则无法积分。例5交换二次积分的顺序分析要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分。解将所给积分限还原成D的图形，由知D是由y=x，y=2－x，y=0三条直线所围成，于是按Y型域定限其中例6交换二次积分的顺序故D是由所围成

3、的，于是解故D是由所围成的，于是证由等式左边，得改变积分顺序，得左边右边所以，左边右边所以，二极坐标计算二重积分极坐标是由极点和极轴组成，坐标，其中r为点p到极点o的距离，为or到op的夹角。r=常数；（从o出发的同心圆）=常数；（射线）直角坐标与极坐标的关系为：面积元素为（矩形）由直角坐标和极坐标的对应关系，得到二重积分在极坐标下的形式其中底高弧长于是得到极坐标下，二重积分化为二次积分的公式：若积分区域D：或写作若极点在D的内部则D可以用不等式，表示，这时有解利用把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：于是例9计算，其中D是以原点为

4、圆心，半径为的圆域。解D可以表示成问题本题为何不用直角坐标计算？如何计算广义积分解用极坐标，例11计算其中D为和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。解将化为，可见D是一个半圆域。所以D可表示为圆的方程表示成极坐标形式：于是，利用极坐标得：几何意义是球面,圆柱面练习小结1.如何选择合适的坐标系计算二重积分？2.利用对称性计算二重积分时，应该注意什么？