传染病模型51288讲课稿.ppt

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1、背景随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者关注的课题.传染病模型1、问题的提出描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i

2、(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为分析假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?4.1模型Ⅰ——SI模型　　1.模型的假设条件SI模型有下面两个假设条件：　　(1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个单词的第一个字母，称之为SI模型).以下简称为健康者和病人，t时刻这两类人在总人数中所占的比例分别记作s(t)和i(t).　　(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人.2.模型的建立与

3、求解根据假设，总人数为N，每个病人每天可使λs(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)，所以每天共有λNs(t)i(t)个健康者被感染，于是λNs(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有(4.1)又因为s(t)＋i(t)＝1(4.2)再记初始时刻(t＝0)病人的比例为i0，则有(4.3)方程(4.3)是Logistic模型，它的解为(4.4)i(t)~t和的图形如图4-1所示.图4-13.模型的分析讨论由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知:　　(1)当时，达到最大值，这个时刻为(4.5)这

4、时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与λ成反比，因为日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.(2)当t→∞时，i→1，即所有人终将被感染，全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈.　　为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.4.2模型Ⅱ——SIS模型有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况建立的模型称为

5、SIS模型.1.模型的假设SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相同，增加的条件(即条件(3))为:　　(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，则是这种传染病的平均传染期.2.模型的建立与求解考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为：(4.6)式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为：(4.7)方程(4.7)的解可表示为：(4.8)3.模型的分析讨论定义(4.9)注意到λ和的含义可知，σ是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式(4

6、.8)和(4.9)容易得到，当t→∞时，(4.10)根据式(4.8)~(4.10)可以画出i(t)~t的图形如图4-2所示.　　接触数σ＝1是一个阈值，当σ≤1时病人比例i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故；当σ>1时，i(t)的增减性取决于i(0)的大小，但其极限值i(∞)＝1－1σ随σ的增加而增加.　　SI模型可视为本模型的特例.图4-24.3模型Ⅲ——SIR模型　　1.模型的假设大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是

7、病人(已感染者)，他们已经退出传染系统.这种情况下的模型假设条件为：　　(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)；　　(2)病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，σ＝λ/μ.2.模型的建立与求解由条件(1)，有s(t)＋i(t)＋r(t)＝1(4.11)根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移出者而言，应有(4.12)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(>0)和i0(>0)(不妨设移出者的初始