初中几何模型弦图模型.doc

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1、中考数学几何模型:弦图模型名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型,包含两种模型:内弦图模型和外弦图模型.(一)内弦图模型:如图,在正方形ABCD中,AE⊥BF于点E,BF⊥CG于点F,CG⊥DH于点G,DH⊥AE于点H,则有结论:△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦图(二)外弦图模型:如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是正方形ABCD各边上的点,且四边形EFGH是正方形,则有结论:△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“一线三垂直”典题探究启迪思维探究重点例题1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以AB,AC向外作正方形ABDE,ACFG,连

2、接EG,若AB=12,BC=16,求△AEG的面积.变式练习>>>1.如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD上,连接CE,以CE为边作正方形CEFG,点D,F在直线CE的同侧,连接BF,若AE=1,求BF的长.例题2.如图,以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF,该正方形的中心为点O,连接AO.若AB=4,AO=,求AC的长.变式练习>>>2.如图,点A,B,C,D,E都在同一条直线上,四边形X,Y,Z都是正方形,若该图形总面积是m,正方形Y的面积是n,则图中阴影部分的面积是___________.例题3.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,

3、D为△ABC外一点,满足∠CBD=90°,BC=BD,若,求AC的长.变式练习>>>3.点P是正方形ABCD外一点,PB=10cm,△APB的面积是60cm2,△CPB的面积是30cm2.求正方形ABCD的面积.例题4.在边长为10的正方形ABCD中,内接有6个大小相同的正方形,P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点,如图所示,求这六个小正方形的面积.变式练习>>>4.如图,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线y=(x>0)同时经过点B,且点A在点B的左侧,点A的横坐标为,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为 1+ .【解答】解:在△AOM和△BAN中,,∴△A

4、OM≌△BAN(AAS),∴AM=BN=,OM=AN=,∴OD=+,BD=﹣,∴B(+,﹣),∴双曲线y=(x>0)同时经过点A和B,∴(+)•(﹣)=k,整理得:k2﹣2k﹣4=0,解得:k=1±(负值舍去),∴k=1+;故答案为:1+.达标检测领悟提升强化落实1.如图所示,“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,已知S1+S2+S3=10,则S2的值是  .【解答】解:将四边形MTKN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,∵正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNK

5、T的面积分别为S1,S2,S3,S1+S2+S3=10,∴得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,∴S1+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,x+4y=,所以S2=x+4y=,故答案为:.2.我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理,这是著名的赵爽弦图(如图1).它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案.在弦图中(如图2),已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点,对角线BD分别交AH,CF于点P、Q.在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M,N,且MN经过点O,若MH=3ME,BD=2MN=4.则△APD的面积为 5 .【解

6、答】解:如图,连接FH,作EK∥MN,OL⊥DG∵四边形ABCD是正方形,且BD=2MN=4∴MN=2,AB=2∵四边形EFGH是正方形∴FO=HO,EH∥FG∴∠HMO=∠FNO,∠MHO=∠NFO,且FO=HO∴△MHO≌△FNO(AAS),∴MH=FN∵MH=3ME,∴MH=FN=3EM,EH=EF=4EM∴EK∥KN,EH∥FG,∴四边形EMNK是平行四边形∴MN=EK=2,KN=EM,∴FK=2EM∵EF2+FK2=EK2,∴16EM2+4EM2=20,∴EM=1,∴EH=4,∵AD2=(AE+4)2+DH2,且AE=DH∴DH=AE=2,∴AH=6∵PH∥OL,

7、∴,∴PH=1,∴AP=5,∴S△APD=×5×2=5故答案为53.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG,EG.(正方形的各边都相等,各角均为90°)(1)判断CE与BG的关系,并说明理由;(2)若BC=3,AB=5,则AEG面积等于 6 .【解答】解:(1)如图,∵∠EAB=∠GAC=90°,∴∠EAC=∠BAG,在△EAC和△BAG中,,∴△EAC≌△BAG(SAS),∴CE=BG,∠AEC=ABG,∵∠AEC+∠APE=90°,∠APE=

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