同济大学高等数学第七版1-3函数极限说课材料.ppt

《同济大学高等数学第七版1-3函数极限说课材料.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节函数的极限自变量变化过程的六种形式:根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势怎样用数学语言刻划问题无限接近于确定值A？1.定义定义1设函数有定义.记作或恒有在点x0某去心邻域内注：(1)定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素：①正数ε，②正数δ，③不等式(3)δ与任意给定的正数ε有关。(2)有没有极限，与在点是否有定义无关必存在x0的去心邻域对于此邻域内的x,对应的函数图形位于这一带形区域内.作出带形区域一般说来,应从不等式出发,推导出应小于怎这个正数就是要找

2、的与相对应的这个推导常常是困难的.但是,注意到我们不需要找最大的所以适当放大些,的式子,变成易于解出找到一个需要的找到就证明完毕.可把样的正数,证这是证明吗？非常非常严格！例1例2证明证于是恒有例3分析：函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点是否有极限并无关系．证例4证min可用保证练习证明证由于要使解出只要可取有解不等式,3.左、右极限(单侧极限)例如,两种情况分别讨论!记作记作左极限右极限使得时,或使得时,或记作记作注且此性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例

3、题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.练习y=f(x)xOy11在x=1处的左、右极限.解二、自变量趋向无穷大时函数的极限返回通过上面演示实验的观察:如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.2.另两种情形Axfx=-¥®)(lim解显然有可见和虽然都存在,但它们不相等.故不存在.例5讨论极限是否存在?图形完全落在:的图形的水平渐近线(horizontalasymptote).则直线例6证成立.由极限的定义可知:例7证要使成立.只要有解不等式练习试证证注意有为了使只要使有三、函数极限的性质函数

4、极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有极限,则f(x)在上有界;f(x)有极限,且证明方法也类似.定理3(局部保号性)证(1)设A>0,取正数即有自己证只要取便可得更强的结论:证(1)也即(2)自己证.定理3(1)的证明中,不论定理证假设上述论断不成立,那么由(1)就有在该邻域内这与所以类似可证的情形.假设矛盾,若定理3(2)中的条件改为必有不能!如思考是否定理3定理31.函数极限的或定义;2.函数极限的性质局部保号性;四、小结唯一性;局部有界性;3.函数的左右极限判定极限的存在性.