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1、第四节隐函数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数函数的形式,是因变量由含有自变量的数学式子直接表示的函数,例如,等,称为显函数.如果变量与的函数关系可以由一个二元方程表示,例如,,等,对在给定范围内的每一个,通过方程有确定的值与之对应,所以是的函数,这种函数称为隐函数.定义1如果变量、之间的函数关系是由某一方程所确定,那么称这种函数是由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程解出,就把隐函数化成了显函数.但有的隐函数不易显化,甚至不可能显化.例如由方程确定的隐函数就不能显化.对由方程确定的隐函数,在不显化的
2、条件下,怎样求呢?假设由方程确定的隐函数,将视为中间变量,利用复合函数求导法,方程两边分别对求导,可得到一个含有的方程,最后解出即得隐函数的导数.例1已知由方程确定了隐函数,求及.解把看成的函数,将方程两边分别对求导,由复合函数的求导法则有.从而,即.将代入原方程得,故.隐函数求导方法小结:(1)把视作复合函数的中间变量,将方程两边分别对求导；(2)从求导后的方程中解出；(3)隐函数求导的结果允许含有,但求某一点的导数时不仅要代的值,还要把对应的值代入.例2求曲线在点处的切线方程.解把看成的复合函数,方程两边分别对求导,得,解得.因而所求切线斜率
3、为.于是所求切线方程为.即.例3证明抛物线上任一点的切线在两个坐标轴上的截距之和等于.证方程两边分别对求导,有,得.设是抛物线上任一点,则抛物线过点的切线斜率为,所以切线方程为,即.所以抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和为.例4求由方程所确定的隐函数的二阶导数.解方程两边分别对求导,得,即.从而.说明：求由方程确定的函数的二阶导数,可把视为中间变量将两边分别对求导,,求出后,仍视为中间变量,对再求一次导数,则表达式中有,将第一次求出的代入后即可求出.二、对数求导法定义2先将函数的两边取对数,然后利用隐函数求导法求出的导数,这种方法称为对数
4、求导法.对以下两类函数,使用对数求导法求导一般较为简便.(1)幂指函数；(2)多个因式的积、商、乘方、开方构成的函数.下面通过例题来说明这种方法.例5求幂指函数的导数,其中为的可导函数.解（法一）将函数两边取对数得,两边分别对求导,由于都是的函数,则由隐函数求导法则,有,.（法二）因为,所以由复合函数求导法则得.例6已知,求.解两边取对数得,上式两边分别对求导得,.例7已知,求.解两边取对数得,方程两端再取对数得,方程两端分别对求导得,所以.例8求函数的导数.解两边取对数得，两边分别对求导得，所以.例9求函数的导数.解两边取对数得，方程两端分别对
5、求导得，即.三、由参数方程所确定的函数的导数在许多实际问题中,变量与的函数关系可用参数方程确定,于是我们有下面定义:定义3如果参数方程确定了与之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如何求由参数方程所确定函数的导数呢?在参数方程中,如果函数具有单调连续的反函数,且此函数能与函数复合而成复合函数.假设均可导,且,则根据复合函数和反函数的求导法则,可得.即.如果函数有二阶导数,那么可求出:.例10已知椭圆的参数方程为.求椭圆在相应点处的切线方程.解因为,所以椭圆在处的切线的斜率为.当时,,因而椭圆在处的切线方程是,即.例1
6、1求由参数方程所确定的函数的.解,.例12求由参数方程(存在且不为零)所确定函数的二阶导数.解..四、相关变化率定义4设都是可导函数,且与之间存在某种关系,从而变化率与间也存在一定关系.在已知其中一个变化率时,便可求出另一个变化率.这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.例13落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波的半径的增大率总是,问在末扰动水面面积的增大率为多少？解设在秒末最外一圈水波半径为,扰动水面面积为,则.两边同时对求导,得.由已知,当时,所以.例14注水入深,上顶直径为的正圆锥容器中,其速率为,当水深为时,,其表面上升的速率为
7、多少?解设在时刻容积中的水深为,容积为,由相似三角形的性质得,即.于是,两边对求导,当,时.
