高中数学竞赛试题及答案(理).doc

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1、高二数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1．是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．2、下列值等于1的是()A.B.C.D.3、若函数满足,则()A.B.C.2D.04．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是A．假设三内角都不大于60度；B．假设三内角至多有一个大于60度；C．假设三内角都大于60度；D．假设三内角至多有两个大于60度。5、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每为朋友一本，则不同的赠送方法共有（）A4种B1

2、0种C18种D20种6、已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）AB．C．D．7、已知,则等于()A.B.C.D.8、若展开式的常数项为60，则常数a的值为（）A2B4CD9、曲线上的点到直线的最短距离是（）A．B．C．D．010．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A、－12D、a<－3或a>611．函数有（）A．极大值5，极小值－27；B．极大值5，极小值－11；C．极大值5，无极小值；D．

3、极小值－27，无极大值21012．设是函数的导数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）B012A012C012D012高二数学（理）试题（第二巻）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。）13.曲线与坐标轴围成的面积是314.曲线在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是(1,0)15．设为虚数单位，则=1.16．已知，函数定义域中任意的，有如下结论：①；②；③④上述结论中正确结论的序号是__①③_.三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演

4、算步骤。）17.（本小题满分10分）已知z、w为复数，为实数，w=．解：设w＝x+yi(x，y∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)w＝(－1+7i)w为实数，且

5、w

6、＝5，∴，解之得或，∴w＝1+7i或w＝－1－7i。18.设函数在及时取得极值．（1）求a、b的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值．①解：，因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．②由（1）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．19．（本小题满分12分）某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡

7、活动，若厂家A、B对两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p、lnq万元，已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：)．解：设B型号电视机的投放金额为万元，A型号的电视机的投放金额为万元，农民得到的补贴为万元，则由题意得,令得当时，；当，时，所以当时，取得最大值，故厂家投放A、B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元，农民得到的补贴最

8、多，最多补贴约1.2万元。20．（12分）（1）求（2）猜想的关系，并用数学归纳法证明。解：（1），，（2）猜想：即：（n∈N*）下面用数学归纳法证明①n=1时，已证S1=T1②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：则由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.21.（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，，G是EF的中点，（1）求GB与平面AGC所成角的正弦值.（2）求二面角B—AC—G的余弦值.解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0

9、），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）．（由题意可得，，，，设平面AGC的法向量为，由（2）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得，22.（本小题满分12分）已知函数,（为常数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.解：依题意，函数的定义域为（1，＋∞）.（Ⅰ）当m＝4时，.＝=＝.令，解得或.令，解得.可知函数f(x)的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．（Ⅱ）＝＋x－(m＋2)＝.若函数y＝

10、f(x)有两个极值点,则，解得m＞3.