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《高中数学不等式选修知识点和常考题型归纳.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、选修4-5不等式选讲1、基础知识梳理2、常考题型归纳3、强化训练一、基础知识梳理【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.基础梳理1．含有绝对值的不等式的解法(1)
2、f(x)
3、＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；(2)
4、f(x)
5、＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；(3)对形如
6、x－a
7、＋
8、x－b
9、≤c，
10、x－a
11、＋
12、x－b
13、≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对
14、值的不等式的性质
15、a
16、－
17、b
18、≤
19、a±b
20、≤
21、a
22、＋
23、b
24、.3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．双基自测1．不等式1＜
25、x＋1
26、＜3的解集为________．答案
27、 (－4，－2)∪(0,2)2．不等式
28、x－8
29、－
30、x－4
31、＞2的解集为________．解析 令：f(x)＝
32、x－8
33、－
34、x－4
35、＝当x≤4时，f(x)＝4＞2；当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5，∴4＜x＜5；当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立．故原不等式的解集为：{x
36、x＜5}．答案 {x
37、x＜5}3．已知关于x的不等式
38、x－1
39、＋
40、x
41、≤k无解，则实数k的取值范围是________．解析 ∵
42、x－1
43、＋
44、x
45、≥
46、x－1－x
47、＝1，∴当k＜1时，不等式
48、x－1
49、＋
50、x
51、≤k无解，故k＜1.答案 k＜14．若不等式
52、3x－
53、b
54、＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．解析 由
55、3x－b
56、＜4，得＜x＜，即解得5＜b＜7.答案 (5,7)5．(2011·南京模拟)如果关于x的不等式
57、x－a
58、＋
59、x＋4
60、≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是________．解析 在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)考向一 含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f(x)＝
61、2x＋1
62、－
63、x－4
64、.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．[审题视点]第(1)问：采用分段函数解
65、不等式；第(2)问：画出函数f(x)的图象可求f(x)的最小值．解 (1)f(x)＝
66、2x＋1
67、－
68、x－4
69、＝当x＜－时，由f(x)＝－x－5＞2得，x＜－7.∴x＜－7；当－≤x＜4时，由f(x)＝3x－3＞2，得x＞，∴＜x＜4；当x≥4时，由f(x)＝x＋5＞2，得x＞－3，∴x≥4.故原不等式的解集为.(2)画出f(x)的图象如图：∴f(x)min＝－.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含
70、有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【训练1】设函数f(x)＝
71、x－1
72、＋
73、x－a
74、.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．解 (1)当a＝－1时，f(x)＝
75、x－1
76、＋
77、x＋1
78、，f(x)＝作出函数f(x)＝
79、x－1
80、＋
81、x＋1
82、的图象．由图象可知，不等式的解集为.(2)若a＝1，f(x)＝2
83、x－1
84、，不满足题设条件；若a＜1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a.若a＞1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是
85、
86、a－1
87、≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．考向二 不等式的证明【例2】►证明下列不等式：(1)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；(2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；(3)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.[审题视点](1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式．证明 (1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2＞0.∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.∴3a2＋2b3≥3a
88、2b＋2ab2.(2)∵a2＋4b2≥2＝4ab，a2＋9c2≥2＝6ac，4b2＋9c2≥2＝12bc，∴2a2＋8b2＋18c2≥4
