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1、例1求．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．例2=_________．解法1由定积分的几何意义知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积．故=．解法2本题也可直接用换元法求解．令=（），则====例3比较，，．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之
2、间的大小来确定积分值的大小．解法1在上，有．而令，则．当时，，在上单调递增，从而，可知在上，有．又，从而有．解法2在上，有．由泰勒中值定理得．注意到．因此．例4估计定积分的值．分析要估计定积分的值,关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解设,因为,令，求得驻点,而,,,故,从而,所以.例5设，在上连续，且，．求．解由于在上连续，则在上有最大值和最小值．由知，．又，则．由于，故=．例6求,为自然数．分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．解法1利用积分中值定理设,显然在上连续,由积分中值定理
3、得,,当时,,而,故．解法2利用积分不等式因为,而,所以．例7求．解法1由积分中值定理可知=，．又且，故．解法2因为，故有．于是可得．又由于．因此=．例8设函数在上连续，在内可导，且．证明在内存在一点，使．分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可．证明由题设在上连续，由积分中值定理，可得，其中．于是由罗尔定理，存在，使得．证毕．例9（1）若，则=___；（2）若，求=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可．解（1）=；（2）由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得=．例10设连续，且，则=_________．解
4、对等式两边关于求导得，故，令得，所以．例11函数的单调递减开区间为_________．解，令得，解之得，即为所求．例12求的极值点．解由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下：-＋－故为的极大值点，为极小值点．例13已知两曲线与在点处的切线相同，其中，，试求该切线的方程并求极限．分析两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，．解由已知条件得，且由两曲线在处切线斜率相同知．故所求切线方程为．而．例14求；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解=====．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15试求正数与，使等式成立．分析易见该极限属于型的未定式，可
5、用洛必达法则．解==，由此可知必有，得．又由，得．即，为所求．例16设，，则当时，是的（）．A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．解法1由于．故是同阶但非等价的无穷小．选B．解法2将展成的幂级数，再逐项积分，得到，则．例17证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有．证法1令=，当时，，则===．故单调增加．即，又，所以，其中．从而=．证毕．证法2由于单调增加，有，从而．即==．故．例18计算．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解＝＝＝．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条
6、件．如，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.例19计算．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数．解例20设是连续函数，且，则．分析本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．解因连续，必可积，从而是常数，记，则，且．所以，即，从而，所以．例21设，，，求,并讨论的连续性．分析由于是分段函数,故对也要分段讨论．解（1）求的表达式．的定义域为．当时，,因此．当时，,因此,则==，故．(2)在及上连续,在处，由于,,．因此,在处连续,从而在上连续．错误解答（1）求的表达式,当时，．当时，有=．故由上可知．(2)在及上连续,在处，由于,,．因
7、此,在处不连续,从而在上不连续．错解分析上述解法虽然注意到了是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因为当时，中的积分变量的取值范围是，是分段函数，才正确．例22计算．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解=．由于是偶函数，而是奇函数，有,于是===由定积分的几何意义可知,故．例23计算．分析被积函数中含有及，考虑凑微分．解=====．例24计算．解=====．注此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25计算，其中．解=，令，则===．注若定积分中的被积函数含有，一般令或．例26计算，其中．解法1令，则
8、=．解法2令，则=．又令，则有=．所以
