高数(上)习题及答案(极限).pdf

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1、复习题（一）一、定义域（1）函数1()的定义域y=+lgx−23−x（2）函数1的定义域y=+x+12x−4（3）函数f(x)的定义域为[0，1]，则()⎛1⎞⎛1⎞定义域为gx=f⎜x+⎟+f⎜x−⎟⎝4⎠⎝4⎠二、求极限⎛3⎞⎛3x1⎞⎜21⎟（1）lim⎜+xsin⎟=lim⎜+xsin⎟x→0⎝sin2xx⎠x→0⎜sin2xx⎟⎝2x⎠321=lim+limsinxx→0sin2xx→0x2x3limx→02=sin2xlimx→02x3=2mmm−1x−amxlim(a≠0)=limx→axn−anx→anxn−1mmn−=limxx→anmmn−=an2xx⎡⎤⎛

2、2⎞⎢⎛2⎞2⎥lim⎜1+⎟=lim⎜1+⎟x→∞⎝x⎠x→∞⎢⎝x⎠⎥⎣⎦12x⎡⎤⎢⎛2⎞2⎥=lim1⎜+⎟⎢x→∞⎝x⎠⎥⎣⎦2=elnx1lim=lim=0x→∞xx→∞x2x−6x+8x−22lim=lim=2x→4x−5x+4x→4x−13⎛sin2xtanx⎞sin2xsixn1lim⎜−⎟=lim2⋅−lim⋅x→0⎝xx⎠x→02xx→0xcosxsin2xsixn1=⋅2lim−lim⋅limx→02xx→0xx→0cosx=1x2=2lim=lim(1+x+1)x→0+2x→0+1+x−1sinxcoxslim=lim=1xxx→0e−1x→0elnx

3、−111lim=lim=；x→ex−ex→exe222lim(x+1−x−1)=lim=0；x→∞x→∞22x++1x−11sin1x；limxsin=lim=1x→∞xx→∞1x−22x−x⎛1⎞⎡⎛1⎞⎤−2lim⎜1−⎟=lim1⎢⎜−⎟⎥=ex→∞⎝x⎠x→∞⎢⎣⎝x⎠⎥⎦cos5x5sin5x5lim=lim=−πxπ3sin3x→cos3x→x322222sinx⎛sinx⎞xlimlnlim⎜⎟=ex→0+xxx→0+⎝x⎠xxcosx−sinxlim2⋅x+sinxx2=e→0−xsinx2lim=ex→0+2x=1⎛11⎞x−−1lnxlim⎜−⎟=limx→

4、1⎝lnxx−1⎠x→1lnxx⋅(−1)11−x=limx→1x−1+lnxxx−1=limx→1x−+1xlnx1=limx→12ln+x1=2x⎛11⎞e−−1xlim⎜−⎟=limx→0⎝xex−1⎠x→0xe(x−1)xe−1=limxxx→0e−+1xexe=limxxx→02e+xe1=limx→02+x1=2x+1⎛3⎞x+11+⎛2x+3⎞⎜2x⎟lim⎜⎟=lim⎜⎟x→∞⎝2x+1⎠x→∞⎜+1⎟1⎝2x⎠3x+1⎛3⎞⎜1+⎟⎝2x⎠=limx+1x→∞1⎛⎞⎜1+⎟⎝2x⎠32x⎡⎤2⎢⎛3⎞3⎥⎛3⎞⎜1+⎟⎜1+⎟⎢⎝2x⎠⎥⎝2x⎠⎢⎣⎥⎦=li

5、m1x→∞2x2⎡⎛1⎞⎤⎛1⎞⎢⎜1+⎟⎥⎜1+⎟⎢⎣⎝2x⎠⎥⎦⎝2x⎠=ex+1⎛2⎞解法2：原式=lim1⎜+⎟x→∞⎝2x+1⎠2x+11+⎛2⎞22=lim1⎜+⎟x→∞⎝2x+1⎠2x+11⎛2⎞2⎛2⎞2=lim1⎜+⎟⎜1+⎟x→∞⎝2x+1⎠⎝2x+1⎠=e1−sinx−1−xx−sinx解法1：lim=limx→0sin3xx→0sin3x(1sin−x+1−x)1x−sinx=lim32x→0sinx11cos−x=lim22x→03sinxcosx12x12=lim22x→03x1=1211−sinx+x解法2：1−sinx−1−x22lim=lim3

6、3x→0sinxx→0x1−sinx+x=lim32x→0x41−cosx+1=lim22x→03x12x121=lim=22x→03x12π1−arctanx−221+xlim=lim(洛比达法则)x→+∞1x→+∞11sin−cos2xxx2x=lim2x→+∞1+x=1π−arctanxlim2不存在x→∞1sinx()tanxlimsinxπx→2tanx，解：令y=sinx则lny=tanx⋅lnsinxlimlny=limtanx⋅lnsinxππx→x→22lnsinx=limπ1x→2tanxcosxsinx=limπsec2xx→2−2tanxcosx2=li

7、m−⋅sinxx→πsinx21=limsin2x2x→π2=00,lnlimy=lnelimy=1ππx→x→225limsinlnxx解：limxsinx=limesinlnxx=ex→0+x→0+x→0+lnxlimsinlnxx=limx→0+x→0+1sinx1=limx→0+−cosxx⋅2sinx2sinx=lim−+x→0x⋅cosx=−limsinxx→0+=0sinx∴limx=1x→0+⎛π⎞limsin⎜−x⎟tan3xx→π⎝6⎠6π⎛π⎞解：令t=−x，则lims