数列通项、求和方法经典总结.doc

《数列通项、求和方法经典总结.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、求an；求Sn；第二次课——数列通项公式的求法一、定义法——直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差or等比）的题目．例．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴二、公式法求数列的通项可用公式求解。特征：已知数列的前项和与的关系例．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，三、由递推式求数列通项法类型1特征：递推公式为对策：把原递推公式转化为，利用累加法求解。例1.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，

2、代入上式得个等式累加之，即所以，类型2特征：递推公式为对策：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例2.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，类型3特征：递推公式为（其中p，q均为常数）对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由得两式相减并整理得构成数列以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型1（累加法）便可求出例3.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4特征：递推公式为（其中p为常数）对策：（利用构造法消去p）两边同时除以可得到，令，

3、则，再转化为类型1（累加法），求出之后得例4．设数列{}的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,试求此数列的通项公式及前n项和.解：∵a1=3,∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6.由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1)Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1即an+2=3an+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=此数列的前n项和为

4、Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n–1=3＋=3n.类型5特征：递推公式为（其中p，q均为常数）。对策：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例5.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。巩固：例8.数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。解：由得设a，比较系数得解得∴{}是以为公比，以为首项的等比数列∴例9.已知数列满足，且，求．解：设，则，是以为首项,以3为公比的等比数列例10．已知

5、数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．例11.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例12.数列满足=0，求数列{a}的通项公式。解：由得即，且∴是以2为公比，3为首项的等比数列∴利用逐差法∴例13．已知数列满足,,求．解：设或则条件可以化为是以首项为，公比为的等比数列,所以．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得．求的四种方法：⑴错位相减法①若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.例

6、：⑵裂项相消法一般地，当数列的通项时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.⑷倒序相加法如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：⑸记住常见数列的前项和：①②③