线性控制理论第4章 控制系统的稳定性.ppt

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1、1第4章控制系统的稳定性2内容提要:本章主要介绍状态空间分析法中系统的稳定性分析系统的内部稳定、外部稳定李亚普诺夫关于稳定的基本概念和定理李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法的应用利用MATLAB判断系统的稳定性。3知识要点：内部稳定、外部稳定，李氏意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定，克拉索夫斯基法判稳，变量－梯度法。44.1系统稳定的基本概念系统运动稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。1892年俄国数学家李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）就如何判别系统的稳定性问题，提出了李雅普诺夫第一法和第二法。

2、第一法的基本思路是先求解系统的线性化微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。称为间接法。5第二法的基本思路是不需要求解系统的微分方程式（或状态方程式）就可以对系统的稳定性进行分析和判断，称为直接法。它通过构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质来判别系统的稳定性，不但能用来分析线性定常系统的稳定性，而且也能用来判别非线性系统和时变系统的稳定性。6外部稳定性：系统在零初始条件下通过其外部状态，即系统的输入输出关系所定义的（零状态响应）。适用于线性系统。内部稳定性：系统在零输入条件下，由内部状态变化所定义。适用于线性、非线性系统。（零输

3、入响应）对于同一线性系统。只有在一定条件下，两种定义才具有等价性。李雅普诺夫方法：适用于线性、非线性、时变系统。7包括零状态响应和零输入响应。零状态响应和经典理论中稳定性问题一样，考虑外部稳定性问题。而零输入响应的稳定性问题，即研究齐次方程由任意非零初态引起的响应的稳定性问题，这是一种内部稳定性问题。1892年，俄国人李雅普诺夫发表了《运动稳定性的一般问题》的博士论文，提出了分析稳定性的两种有效方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只适用于平衡状态附近。第二种方法，

4、从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法。显然，第二种方法对线性、非线性系统都适用。在状态空间中，84.1.1外部稳定性和内部稳定性1.外部稳定性系统的输入和输出间的描述就是外部描述，当初始状态为零时，单输入单输出的线性时变系统，其输入—输出描述可表示为（4-1）式中，是系统的脉冲响应函数，它是在时刻加入函数后，系统在时刻t的输出，是系统的输入信号，是系统的输出信号。9对于线性定常系统，式（4-1）可以写成相应的拉氏变换表达式为就是单输入单输出线性定常系统的传递函数。（4-2）10对多输入多输出的线性时变系统，系统的初始条件为零，在时

5、刻每一个输入端加入一个函数，对应的每一个输出端在时刻t都有一个脉冲响应，比如在第j个输入端加入一个函数，在第i个输出端就有一个脉冲响应，，将这些脉冲响应函数组成一个矩阵，就是多输入多输出线性时变系统的脉冲矩阵，即11当初始条件为零，系统在输入向量的作用下，输入输出描述可表示为其中，—系统的输出向量。（4-3）12对于线性定常系统，其初始状态为零的输入—输出描述可表示为（4-4）相应的拉氏变换表达式为其中，—系统的脉冲响应函数阵；—传递函数矩阵。13定义4-1一个零初始状态的线性系统称之为BIBO稳定的充分必要条件为，对于任意有界输入，其输出

6、是有界的。注意，这里必须假定系统的初始条件为零。因为只有在这种假定下，系统的输入—输出描述才是惟一的和有意义的。下面，给出一些常用的判据。，，14定理4-1对零初始状态r维输入和m维输出的连续时间线性时变系统，时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数k，使对一切，中所有元均满足关系式（4-5）15证明（1）单输入单输出情形充分性证明：令输入为有界函数，即满足则由基于脉冲响应的输出关系式，可以得到由定义可知系统BIBO稳定。16必要性证明：采用反证法，已知系统BIBO稳定，设存在某个，使有（4-6）则可构造如下一个有界输入（4

7、-7）17其对应的输出如下（4-8）即输出为无界，与已知系统BIBO稳定的假设矛盾。因此，反设不成立，证得（4-9）18（2）多输入多输出情形注意此时系统输出的任一分量，均有（4-10）且有限个有界函数之和仍为有界。因此，利用单输入单输出情形讨论，即可证得结论。19定理4-2对零初始状态r维输入和m维输出连续时间线性定常系统，令初始时刻，则系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数k，使脉冲响应矩阵所有元均满足关系式等价地，传递函数矩阵为真或严真有理分式阵时，的每一元素的所有极点均具有负实部。（4-11）20外部稳定性有界输

8、入有界输出稳定性；线性动态系统；零初始条件。定义：初始条件为零的系统，任何一个有界输入作用下系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。BIBO稳定：BoundedinputBou